第3章_解线性方程组的迭代法_962109547(2)

n

limA

k

(k)

证：必要性。对任一种矩阵算子范数 有

A

(k)

x A

(k)

x

limA

k

(k)

x 0

充分性， 取 x ej，其第j个分量为1，其它分量为 零的向量。那么limA

k

(k)

ej 0表示A

(k)

的第j列各元素

(k)

极限为零，取 j 1,2, ,n 表示A的全部元素极限为零。

n

A

(k)

A

max

1 i n

j 1

aij aij 0(k )

(k)

aij

(k)

aij(k )

(k)

limA

k

A aij

n n

(k)

aij

定理2.2 设 B R（1） limB 0

k

k

， 那么下面三个命题等价

（2） (B) 1

（3）至少存在一种从属的矩阵范数 ，使B 1。 证明 (1)

(2) 用反证法：设B有一特征值 ，

1。那么存在特征向量x，x 0

Bx x;

Bx x;

2

2

2

Bx x

2

Bx x

Bx x;

k

k

Bx

k

k

k

x

所以当k ， Bx 不收敛到零向量。

hao

根据定理2.1， Bk 不收敛到零矩阵，矛盾于（1）。

(2) (3)对任 0，存在一种从属的矩阵范数

使

B

(B)

由（2）， (B) 1，适当选择 0，使 (B) 1 从而有 B

1

k

(3)

(1) B

k

B

k

limB

k

k

0

从而有 limB

k

（II）迭代法的收敛性

A R

n n

，A非奇异， x R 满足

n

（1） Ax b 等价

（2） x Bx f 迭代公式

（3） x

(k 1)

Bx

(k)

f

(k)

定义2.3 由迭代公式（3）产生的序列 xlimx

k

(k)

满足

x

*

, x

(0)

R

n

那么称迭代法（3）是收敛的。 设 x 为（2） x Bx f 的解，即

x Bx f

*

*

*

由（3）减去上式有

e

(k 1)

Be

(k)

其中 e

(k)

x

(k)

x

*

由此可以递推得

e

k

Be

k

0

hao

其中e

(0)

x

(0)

x与k无关，所以迭代法（3）收敛相当于

(k)

*

lime

k

limBe

k

k(0)

0 e

(0)

R

n

定理2.3 下面三个命题等价 （1） 迭代法 x(k 1) Bx（2） (B) 1

（3）

至少存在一种从属的矩阵范数 ， 使得B 1。

证明：命题（1）等价于limBe

k

kk

(0)k(

f 收敛

)

0, e

(0)

R

n

根据定理2.1 这条件等价于limB 0。由定理2.2，

k

此定理证得最常用的定理叙述如下：

定理2.4 迭代法 x对任 x

(0)

n

(k 1)

Bx

k(

f,k 0,1 , ；

)

R收敛的充分必要条件是 (B) 1。

实际判别一个迭代法是否收敛，条件 (B) 1较难 验证。但 BB

1,B

,B可以用B的元素来表示，所以用

1

1来作为收敛的充分条件较为方便。

2 2

11

21

b,

1 2 3

1

例子2.4 Ax b 其中 A 1

2

试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程 组的收敛性 解

A D L U,

1

D 0

0

010

0 0

0,L 1

1 2

00 2

0 0

0,U 0

0 0

200

2

1 0

BJ D(L

1

22 0

U) 10 1

0 2 2

hao

I BJ 1

2

2 2

1 0

3

2

Jacobi迭代收敛

1 2 3 0, (BJ) 0

G (D L) 1U

1

D L 1

2 0 G 0

0

220

012

0

0 1 2 3 2 2

23

( 2) 0

2

(D L)

1

1

1 0

01 2

0

0 1

I G 0

2

2

1 0, 2,3 2

(G) 2 Gauss-Seidel迭代不收敛。

例 2.5 Ax b 其中

2

A 1

1

111

1 1

1,b 1

2 1

试讨论用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解方程组的 收敛性

解

2

D 0

0

010

0

0, 2

0

L 1

1

00 1

0 0

0,U 0

0 0

100

1

1 0

A D L U

0 1

BJ D(L U) 1

1 2

12012

1 2 1 0

hao

I BJ

1 12

1212

121

3

54

0, 1 0; 2,3

2

(BJ)

2

1 ， Jacobi迭代不收敛

G (D L)U

1 0 2

1

0 20

0

0112

0 0 0

1

2

D L 1

1

11

2

1 1

;(D L) 2 4

2 0

0 4 2

1

2 1 1

G (D L)U

2 0

0112

0 0 0

0 0 0

100

0 1

1 0 0

0

12 12

1

2 1 2 1 2

I G 0

012

1212

121212 0,

12

1 0, 2,3

(G) 1。 Gauss-Seidel迭代收敛

例2.6 设方程组

x1 ax2 b1ax1 2x2 b2,

a R

（1） 写出解方程组的Jacobi迭代矩阵，讨论迭代收敛条件。 （2） 写出解方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵，讨论迭代 收敛条件。 解（1）

1

A

a

a ,2

1D

0

0 0 ,L 2 a

0

0

0U

0

a 0

hao

1

1

BJ D(L U)

0 0 01 a2

2

0

a a0

2 a 0

I BJ a

2a

0,

2

a

2

0, 1

2

(BJ) Jacobi迭代收敛充要条件为 (BJ) 1，

即

a （2）

0 2

1

1

G (D L)U

a

1 0 0 a 1 2 0 2 a0 0 1 0

0

a 0 0

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