数值分析实验算法总结 - 新疆大学

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第九章 解常微分方程初值问题
1. Euler方法

在x, y平面上微分方程①的解 在曲线上一点 (x, y) 的切线斜率等于函数的值.该曲线的顶点设为p,再推进到p(),
显然两个顶点p, p的坐标有以下关系


　　这就是著名的Euler公式具体公式为 (1)
　　为了易于理解下面给出了一个例子；
　　例1.用Euler方法解初值问题,h=0.1
　　,
解: 取步长为h=0.1 计算结果见表:

xyy(x)　en =y(x)-y0.11.100000000000001.09544511501033-0.00460.21.191818181818181.18321595661992-0.00860.31.277437833714721.26491106406735-0.01250.41.358212599560291.34164078649987-0.01660.51.435132918657801.41421356237310-0.02090.61.508966253566331.48323969741913-0.02580.71.580338237655221.54919333848297-0.03110.81.649783431047711.61245154965971-0.03730.91.717779347860091.67332005306815-0.04451.01.784770832497981.73205080756888-0.0527　　分析可知误差是积累的.
　　下面来讨论一下 Euler方法的误差估计
先来看一下Euler方法的误差估计..这里就需要我们先介绍两个概念:.
　　局部截断误差Tn+1= y(x n+1)-y(x n)-h*f()
　　整体截断误差en= y(x n)-y n
所以Euler方法的局部截断误差为
y (x n)-h*f(
　　=
　　=
Euler方法的整体截断误差为: = y(x n)-y n
　　= +h* (f ()-f ()
∣en+1∣≤∣en∣+h*L∣en∣+T=(1+ h*L)∣en∣+T
这里L是f(x,y)关于y的Lipshitz常数,T= h2/2max∣f(x)∣.于是
∣en∣≤(1+ hL)∣en-1∣+T≤(1+ hL) n∣e0∣+
　　(1+(1+ hL)+(1+ hL)2+...+(1+ hL) n-1 )T
因为e0=0,于是
∣en∣≤((1+ hL)n-1)/((1+ hL)-1)T=((1+ hL)n-1)/(hL)T
　≤(eL(b-a)-1)/(hL)T=Ｏ(h)
注意:局部截断误差和整体截断误差关系,前者是Ｏ(h2),后者是Ｏ(h)
后者是前者的n倍.这一关系是一般性的,以后的方法有这一关系出现.我们将直接引用而不给证明.
注：（以下各方法只给出了局部截断误差和整体截断误差的公式
没有提供推导过程
）

上机实验⑴
上机题目：贬值求一阶常微分方程的初值问题
实验目的：掌握各种Euler方法和梯形法
进过计算结果来分析四种方法的优缺点
掌握规律
分析结果

实验要求：用不同的方法来解同一个例子

① 上机前充分准备
复习有关内容
写出计算步骤
查对程序

② 用Euler 法进行运算
并分析最好的方法
再给出它的流程图

③ 实验结束后写出完整的实验报告

算法说明：①经过所给出的方程组和初值初步改变方程组

① 由以上四种方法的计算公式来逐步计算y的每个值

② 最后为了方便比较列为表最适合

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上机例题：例1.用Euler方法解初值问题,h=0.1
Matlab程序：
function s=Euler(f,y0,a,b,n)
f=inline(f); %定义f
h=(b-a)/n; %决定步长
y(1)=y0;x(1)=a; %腻植
for k=1:n
x(k+1)=x(1)+k*h; %以算法公式进行计算
y(k+1)=y(k)+h*f(x(k),y(k));
end
disp(sprintf(' k x(k) y(k)')); %以规定格式输出k,x(k),y(k)
for i=1:n
disp(sprintf(' %d %f %f',i,x(i+1),y(i+1))); %再刚才规定的k,x(k),y(k)下面分别输出计算结果.
End s=y(k);
运行结果：
s=Euler('y-2*x/y',1,0,1,10)
k x(k) y(k)
1 0.100000 1.100000
2 0.200000 1.191818
3 0.300000 1.277438
4 0.400000 1.358213
5 0.500000 1.435133
6 0.600000 1.508966
7 0.700000 1.580338
8 0.800000 1.649783
9 0.900000 1.717779
10 1.000000 1.784771
s =1.7178
复习思考题
1. 为什么要研究微分方程数值解？本章主要研究的是怎样一类初值问题？
2. 何谓方法的阶与局部截断误差？
3. 何谓单步法、多步法？何谓显示公式、隐式公式？四阶龙格-库塔法属于哪一类？
4. 线性多步法的优缺点是什么？
5. 预测-校正公式有何特点与优点？
6. 试述用带误差修正的四阶阿当姆斯预测-校正公式（或哈明公式）解初值问题的计算步骤

7. 一阶微分方程组与高阶方程初值问题如何求解？导出下述三阶方程初值问题的龙格-库塔公式

8. 什么叫高斯公式和高斯点？是高斯点的充要条件是什么？怎
　　样求高斯点和高斯公式？高斯公式有何优点和缺点？
9. 什么叫待定系数法？怎样利用它确定数值积分公式？有什么优点和缺点？
10. 插值型求导公式是怎样形成的？其误差怎样估计？
为什么使用插值型求导
公式要注意误差分析？样条插值求导有什么优点？
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