第7讲 对数与对数函数

对数与对数函数第一轮复习学案

第7讲 对数与对数函数

考纲解读： （1）理解对数与对数函数的概念，理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点． （2）知道对数函数是一类重要的函数模型．

（3）了解指数函数y ax与对数函数y logax(a 0,且a 1)互为反函数．

学习目标：

1. 学生能写出对数函数的定义，能画出对数函数的图像并能根据图像说出对数函数的性质. 2. 知道对数函数是一类重要的函数模型．

3. 能说出指数函数和对数函数互为反函数及图像间的对称关系.

学习重点：能画出对数函数的图像并能根据图像说出对数函数的性质. 学习难点：利用对数函数性质解决一些综合题. 知识梳理： 一、对数

1、定义： 如果ab N(a 0,a 1),那么b叫做以a为底N的对数,记

b logaN(a 0,a 1)

即有：a N b logaN(a 0,a 1)

2、性质：①零与负数没有对数 ②loga1 0 ③logaa 1；

b

blogaN

loga b(a 0,a 1) a N3、恒等式：；a

4、运算法则：

(1)logaMN logaM logaN

M

(2)loga logaM logaN

N

(3)logaMn nlogaM 其中a>0,a≠0,M>0,N>0

5、换底公式：logaN

logmN

(N 0,a 0且a 1,m 0且m 1)

logma

二、对数函数

1．对数函数的概念

形如 的函数叫做对数函数. 说明：（1）一个函数为对数函数的条件是： ①系数为1；

②底数为大于0且不等于1的正数； ③自变量x为真数.

特别应注意的是：真数 大于0、底数 大于0且不等于1。

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2、由对数的定义容易知道对数函数y logax(a 0,a 1)是指数函数

y ax(a 0,a 1)的反函数。

反函数及其性质

①互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。

②若函数y f(x)上有一点(a,b)，则（b，a）必在其反函数图象上，反之若(b,a)在反函数图象上，则（a，b）必在原函数图象上。

③利用反函数的性质，由指数函数y ax(a 0,a 1)的定义域x R，值域y 0，容易得到对数函数y logax(a 0,a 1)的定义域为x 0，值域为R.

3、．对数函数的图象和性质

比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：

①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数a 1为增；0 a 1为减）比较；

②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较；

③如果两对数的底数不同而真数相同，如y loga1x与y loga2x的比较（a1 0,a1 1,a2 0,a2 1）.可借助对数函数图像来做.

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三、例题讲解

题型一、对数式的化简与运算 例1、计算下列格式

（1）2(lg2) lg2 lg5 (lg2) lg2 1

（2）设函数f(x) logax(a 0,a 1)，若f(x1 x2 ... x2010) 1005，

222

求f(x1) f(x2) f(x2010)的值。

2

2

2

解：（1）原式=lg2(2lg2 lg5) (lg2 1) lg2(lg2 lg5) (1 lg2) 1

222（2）代入f(x) logax(a 0,a 1)，即得f(x1) f(x2) f(x2009)=2010。

题型二、指数与对数的互化

例2、已知x,y,z为正数，满足3 4 6 求：（1）求使2x=py的p的值，（2）求证：

x

y

z

111

（3）比较3x、4y、6z的大小 2yzx

（1）设3x 4y 6z k(k 1)则x log3k,y log4k,z log6k， 由2x=py得2log3k plog4k p

2log3k

2log34

log4k

（2）

1111111

logk6 logk3 logk2 logk4

zxlog6klog3k22log4k2y

（3）

k 1 lgk 03x 4y

3x 4y 6z

题型三、图像问题

lgklgk

(lg64 lg81) 04y 6z (lg36 lg64) 0

lg3lg4lg2lg6

例3、如图是对数函数y logax的图象，已知a值取

431

,,,，则图象C1,C2,C3,C4相应的a值依次是（ ） 3510

431413

A．、、、 B．、、、

35103105431413C．、、、 D．、、、

35103105

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例4、已知a 0，且a 1，函数y ax与y loga( x)的图象只能是图中的（ ）

例5、已知f 1(x)图像过(3,2)点，那么f(x-3)+2的图像一定过点 . 题型四、比较大小 例6、log43,log34,log4

3

3

的大小顺序为（ ） 4

33 B．log34 log43 log4 443

A．log34 log43 log4

3

C．log34 log4

3

34

log43 D．log4 log34 log43 433

ab

,logb,logba,logab的大小. ba

例7、若a2 b a 1，试比较loga

题型五、解不等式 已知loga

1

1，那么a的取值范围是 2

.

题型六、函数的定义域、值域问题

（1）求函数y=log2(x2 x 2)的定义域、值域

（3）求函数y=log2(x 2x 3)的定义域、值域

题型七、单调性、奇偶性问题

（1）求函数y=log2(x x 2)的单调区间

22

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（3）已知y log2 x (a 1) (x 1)在[2, )上单调递增，求a的取值范围.

（4）已知函数y log2

2 x2 x

①判断函数的奇偶性并证明； ②该函数是否具有单调性，若有证明之.