第1章 运筹学 线性规划

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第1章 线性规划 章

实用运筹学 运用Excel Excel建模和求解 -运用Excel建模和求解 第1章 线性规划 Linear ProgrammingRUC, Information School, Ye Xiang

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第1章 线性规划 章

本章内容要点线性规划问题及其数学模型； 线性规划问题及其数学模型； 线性规划问题的电子表格建模； 线性规划问题的电子表格建模； 线性规划问题的多解分析。 线性规划问题的多解分析。

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本章内容1.1 线性规划问题及其数学模型 1.2 线性规划问题的图解法

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1.3 用Excel 规划求解”工具求解线性规划问 Excel“规划求解 规划求解” 题 1.4 线性规划问题求解的几种可能结果

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线性规划是运筹学中研究较早， 线性规划是运筹学中研究较早，理论和 算法比较成熟的重要分支之一。 算法比较成熟的重要分支之一。 它主要研究在线性等式(或不等式)的 它主要研究在线性等式(或不等式) 限制条件下， 限制条件下，使某一线性目标函数取得 最大值(或最小值)问题。 最大值(或最小值)问题。

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本章主要内容框架图

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决 策 变 量 数 学 模 型 三 要 素 目 标 函 数 约 束 条 件 图 解 法 线 性 规 划 求 解 E x c e l软 件 求 解 唯 一 解 无 穷 多 解 求 解 的 几 种 可 能 结 果 无 解 可 行 域 无 界 RUC, Information School, Ye Xiang

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1.1 线性规划问题及其数学模型

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某工厂要生产两种新产品： 例1.1 某工厂要生产两种新产品：门和窗。经测 每生产一扇门需要在车间1加工1小时、 算，每生产一扇门需要在车间1加工1小时、在车 加工3 小时； 每生产一扇窗需要在车间2 间 3 加工 3 小时 ； 每生产一扇窗需要在车间 2 和车 间 3 各加工2 小时。 而车间1 每周可用于生产这两 各加工 2 小时 。 而车间 1 种新产品的时间为4小时、车间2 12小时 小时、 种新产品的时间为4小时、车间2为12小时、车间 18小时 已知每扇门的利润为300 小时。 300元 3为18小时。已知每扇门的利润为300元，每扇窗 的利润为500 500元 的利润为 500 元 。 而且根据经市场调查得到的该 两种新产品的市场需求状况可以确定， 两种新产品的市场需求状况可以确定，按当前的 定价可确保所有新产品均能销售出去。 定价可确保所有新产品均能销售出去。 问该工厂应如何安排这两种新产品的生产计划 工厂应如何安排这两种新产品的生产计划， 问该工厂应如何安排这两种新产品的生产计划， 可使总利润最大？ 可使

总利润最大？RUC, Information School, Ye Xiang

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1.1 线性规划问题及其数学模型

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在该问题中，目标是总利润最大化， 在该问题中，目标是总利润最大化，所要决策的变 量是新产品的每周产量， 量是新产品的每周产量，而新产品的每周产量要受 到三个车间每周可用于生产新产品时间的限制。 到三个车间每周可用于生产新产品时间的限制。因 该问题可以用目标 决策变量和约束条件三个 目标、 此，该问题可以用目标、决策变量和约束条件三个 因素加以描述。 因素加以描述。 实际上，所有的线性规划问题都包含这三个因素： 实际上，所有的线性规划问题都包含这三个因素：决策变量是问题中有待确定的未知因素 是问题中有待确定的未知因素。 (1)决策变量是问题中有待确定的未知因素。例如决定企 业经营目标的各产品的产量等。 业经营目标的各产品的产量等。 目标函数是指对问题所追求的目标的数学描述 是指对问题所追求的目标的数学描述。 (2)目标函数是指对问题所追求的目标的数学描述。例如 利润最大、成本最小等 利润最大、成本最小等。 约束条件是指实现问题目标的限制因素。 是指实现问题目标的限制因素 (3)约束条件是指实现问题目标的限制因素。如原材料供 应量、生产能力、市场需求等， 应量 、 生产能力 、 市场需求等 ， 它们限制了目标值所能 到达的程度。 到达的程度。RUC, Information School, Ye Xiang

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1.1 线性规划问题及其数学模型

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可用表1 表示。 解：例1.1可用表1-1表示。单位产品的生产时间(小时) 单位产品的生产时间(小时) 门 1 2 3 单位利润( 单位利润(元) 1 0 3 300 窗 0 2 2 500 每周可获得的生产 时间(小时) 时间(小时) 4 12 18

车间

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1.1 线性规划问题及其数学模型(1)决策变量 )

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本问题的决策变量是每周门和窗的产量。 本问题的决策变量是每周门和窗的产量。 可设： 为每周门的产量( 可设：x1为每周门的产量(扇); x2为每周窗的产量(扇)。 为每周窗的产量( (2)目标函数 ) 本问题的目标是总利润最大。 本问题的目标是总利润最大 。 由于门和窗的单位 利润分别为300元和 元和500元 ， 而其每周产量分别为 利润分别为 元和 元 x1和x2,所以每周总利润 为： 所以每周总利润z为 z = 300x1+500x2 (元)RUC, Information School, Ye Xiang

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1.1 线性规划问题及其数学模型 (3)约束条件 本问题的约束条件共有四 本问题的约束条件共有四个。

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车间1每周可用工时限制： 车间1每周可用工时限制：x1 ≤ 4 车

间2每周可用工时限制： 车间2每周可用工时限制：2x2 ≤ 12 车间3每周可用工时限制： 车间3每周可用工时限制：3x1 +2x2 ≤ 18 非负约束: 非负约束:x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

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1.1 线性规划问题及其数学模型 的线性规划模型: 例1.1的线性规划模型:

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Max z = 300x1 + 500x2 ≤4 x1 2x2 ≤ 12 s.t. 3x1 + 2x2 ≤ 18 x1 , x2 ≥ 0

这是一个典型的利润最大 这是一个典型的利润最大 的生产计划问题。 化的生产计划问题。其中 ，“Max”是英文单词 是英文单词 的缩写， “Maximize”的缩写，含 的缩写 义为“最大化” 义为“最大化”; “s.t.”是“subject to”的缩 是 的缩 表示“满足于……”。 写，表示“满足于 。 因此， 因此，上述模型的含义是 在给定的条件限制下， :在给定的条件限制下， 求使得目标函数z达到最大 求使得目标函数 达到最大 时x1,x2的取值。 的取值。

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1.1 线性规划问题及其数学模型

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本章讨论的问题均为线性规划 问题 本章讨论的问题均为 线性规划问题 。 线性规划 问题。 所谓“ 线性” 规划， 所谓 “ 线性 ” 规划 ， 是指如果目标函数 是关于决策变量 线性函数， 决策变量的 是关于 决策变量 的 线性函数 ， 而且约束 条件也都是关于决策变量 线性等式或 决策变量的 条件也都是关于 决策变量 的 线性等式 或 线性不等式， 线性不等式 ， 则相应的规划问题就称为 线性规划问题。 线性规划问题。

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1.1 线性规划问题及其数学模型

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