单频复正弦信号频率估计(3)

X X Z2 N 2， 代入上式得

及FFT 的性质有

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2

A12 A2N 2 var （9） 4

2 A1 A2

代入A1，A2，得

var

1 1

22

N SNR sinc2 2

(10)

因此Quinn 方法的频率估计方差为 2f

var T2

1

2

1 2

(11)

N SNR sinc2 2

对比式(10) 和式(11) 可见,Quinn 方法的频率估计方差与Rife-Jane 方法的频率估计方差的第一项相同。

2.5 分段FFT法测频

分段FFT 法利用2 段等长连续的正弦采样数据之间的相位相关性测频。

将采样序列分为2 个长度相同的序列,s1 n 对应前N2点,s2 n 对应后

N2点。分别对s1 n 和s2 n 进行N2点DFT,得到离散频谱为:

s1 k Akexp j k ;

s2 k s1 k exp j f0T 。

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式中, Ak， k分别为S1 k 的幅度项与相位项,

asin k f0T2 ； Ak

sin 2 k f0T2N

Ak

asin k f0T2 。 sin 2 k f0T2N

S1 k 和S2 k 的幅度项完全一样。幅度最大值k处对应的离散频率为

k0 f0T2 ( x 表示取最接近x 的整数) 。利用DFT 的最大谱线粗测频率为

fk k0 f， f为DFT 的频率分辨率。由 k可知,DFT 最大谱线的相位包含信号

频率与DFT 最大谱线位置的偏差信息,但由于初相未知,不能直接利用DFT 的相位来估计频率。用 1m和 2m分别表示S1 k 和S2 k 在最大谱线处的相位,则两者的差值为:

2m 1m f0 2k0 。

于是频差估计为:

f

f 。 2 T

然后按下式计算

的估值。

f0 fk f k0 f。

分段FFT 相位法测频流程为:

①将时域采样数据分成等长的2 段。如果数据长度为奇数,则舍弃最后一个

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点。尽量使2 段数据点数相同。每段数据长度N/ 2 ； ②分别对2 段数据做FFT 运算;

③求得最大谱线位置和最大谱线处的相位。求2 个相位之差, 注意是后段峰值相位减去前段峰值相位。记k0 f0T2 ， 表示最大谱线对应的数字频率,则

2m 1m f0 2k0

④求数字频偏 2，估计频率为f0 fk f k0 f，其中 f为

频率分辨率。

2.6 相关结论

利用FFT 主瓣幅度最大值处的相位或邻近最大值的谱线的幅度可以提高基于FFT 的频率估计方法的估计精度。在加性高斯白噪声背景中, 不论哪种频率估计方法, 只要是无偏估计, 方差都存在理论下限。频率估计精度与信噪比及信号观测时间长度有关, 还与信号实际频率和FFT 最大谱线对应的频率的相对偏差有关。理论分析和计算机模拟结果表明, 在加矩形窗的情况下, 分段FFT 相位差法和Quinn 插值法的频率估计效果较好, 方差接近CR下限。Rife-Jane 插值法在δ接近±0. 5 (信号实际频率靠近最大谱线与次大谱线中间) 时与Quinn 方法性能相同, 当δ接近零时频率估计方差高出CR 下限很多。重叠FFT 相位差法在D接近零时性能与分段FFT 相位差法接近, 但∣δ∣较大时, 出现较大的误差。加Hanning 窗(或其它非矩形窗函数)2 CRB时, 由于窗函数使得有效数据长度缩短,Quinn 方法和分段FFT 相位差法的误差均略高于不加窗情况。加窗使得FFT 主瓣变宽, Rife-Jane 插值法基本不再出现插值方向错误, 频率估计误差大大降低, 估计性能与Quinn 方法相同。加Hanning 窗时能量重心法的频率估计标准差约为 , 略高于分段FFT 相位差法, 与Quinn 方法接近。

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3. 频率估计的相位加权平均算法及其迭代方法

在信号处理领域，估计复高斯白噪声环境中的单频复正弦信号的频率是一个十分重要的问题，其应用十分广泛[11]。如在系统频率同步时，利用导频进行频偏估计等。

根据最大似然（ML）准则，解决该问题的最优方法是搜索周期图的谱峰位置，但是，即使采用FFT快速算法，这种最大似然估计方法仍然具有非常大的运算量。因此，在文献[12]-[16]中提出了一些运算量相对较低的简化算法。要评价这些简化算法的估计性能，信噪比门限是一个重要的指标。某一算法的信噪比门限指的是该算法估计结果的均方误差开始离开CRB（Cramer-Rao bound）时的信噪比值。

文献[12]-[16]提出的方法中，WPA方法[12]具有最低的运算量，但是其存在信噪比门限随所估计的复正弦信号频率的增大而升高的问题。为了克服这个问题，文献[16]提出了WNLP方法，该方法可使得信噪比门限在整个[ , )的估计范围内保持不变，但WNLP方法的信噪比门限较高，当所估计的复正弦信号频率较低时，WNLP方法的信噪比门限将高于WPA方法。因此，本文提出了一种基于WPA方法的迭代方法。该迭代方法不仅能在整个[ , )的估计范围内保持其信噪比门限不变，而且其信噪比门限远低于WNLP方法的信噪比门限。

3.1 相位加权平均法

叠加复高斯白噪声的复正弦信号为:

j n

s n Ae 0 zn

式中,n 0,1,2, ,N 1。

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采样时刻序列表示采样周期的整数倍。主要关心的参量是频率 0。zn表示测量噪声。

记加权系数为：

2

3 n N 1 N 2 。 pn 2 1 NN

2

频率的估计为:

n xn 1 xn xnxn 1 ，

0 pn xnxn 1 。

t 0

N 2

式中 pn 1； 0是无偏估计。其中 n为相邻2点的相位差。Kay 提出的频率估

t 0

N 2

计算法在高信噪比下达到CR门限。

在较高信噪比SNR > 6dB 时,估计误差可以达到CRB. Kay 方法理论上可以计算的频率范围为 , ,其主要缺点是低信噪比情况下性能较差, 其门限信噪比还会随着待估频率的增大而增大. Kim 等人在Kay 方法的基础上, 针对Kay 方法的高信噪比门限问题,提出了前置矩形滤波器的思路，通过这一预处理, 极大地改善了信噪比门限这一问题,且只增加了少量的计算量, 然而Kim 方法的不足在于其频率估计范围极大地减小. 当前置滤波器为长度为M 的矩形滤波器时, 频率估计器可以获得10log10 M 的增益,但是其频率估计范围仅为

M, M ,这种方法是以减小频率估计范围为代价来达到使频率估计方法

适应于低信噪比情况。

另一方面,从最大谱峰搜索这一思路出发FITZ 首先推导出一种快速测频方