单频复正弦信号频率估计(2)

如果已知 1,则可求出使式（9）最小化的解Ac1,式中 1如果用最大似然估计取代,则Ac1就是正弦波复振幅的最大似然估计。式（9）的求解即为x n 的周期图, 故有结论:在复高斯白噪声中混有单个复正弦信号, 其频率的最大似然估计可根据数据的周期图的最大值所在的频率位置求出。

2.2 双线幅度法(Rife法)

设正弦信号为

g n ae

i2 f0n T 0

,0 n N 1 （1）

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式中:a，f0， 0分别表示信号的振幅、频率、初相; T为采样间隔; N 为样本数。其离散时间的傅里叶变换(DTFT)和离散傅里叶变换(DFT)分别为

Ge

g n e

i

n 0N 1n 0

i

N 1

n i

ae

n 0

N 1

ni2 f0n T 0 i

e （2）

Gk g n e ae

n 0N 1

2

knN

i2 f0n T 0

e

i

2 knN

（3）

k 0,1, ,N 1

为连续角频率。 式(2) 中

若 Gk0 是 g n 经FFT 变换后功率谱的最大值, Rife 法给出的频率估计公式为

Gk0 fs f0 k0 N Gk0 Gk0

（4）

式中: 1当Gk0 1 Gk0 1时，则 1，反之，则 1，fs为采样频率;k0为功率谱最大值对应的量化频率,k0为整数。修正因子0 Gk0 Gk0

1

。根据功2

1

率谱的对称性特点, 被估计频率f0介于k0fsN与 k0 fsN之间。

2

Rife 法利用了g n 的两根谱线, 因此也称双线幅度法, 它是在没有噪声

x n g n v n （5）

因此 x n 的DFT 系数由两部分组成: Xk Gk Vk，其中Vk是噪声序列的

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DFT 系数, 对于有限长的采样序列它是随机变量。

在适度的信噪比条件下, 当f0位于最大谱线fsk0

N和次大谱线

fs kN中间时, Rife 法的估计性能非常好, 但信噪比较低且f0十分靠近0

最大谱线fsk0N时, 算法精度降低。假如fsk0N f0 fs k0 1 N，在没有噪声的情况下应该有Xk0 1 Xk0 1，但由于噪声的影响, 可能出现Xk0 1 Xk0 1的误判情况, 若此时仍然用Rife法, 那么估计频率被认为位于

fs k0 1 N f0 fsk0N，显然造成的误差比仅用DFT 的粗略估计还要大。Rife

算法的这一特点也可以这样分析:如果fc很接近两相邻离散频率的中点

1 k r 0

2 fs，则X k0 r 的幅度与X k0 很接近, 这时采样内插公式具有较N

高的精度。反之若fc很接近于

k0

fs，则X k0 r 很小, 在有噪声存在的情况下,N

噪声对X k0 r 的影响比较大, 这将影响内插的精度。

2.3 M-Rife算法(修正Rife算法)

加性高斯白噪声污染的正弦波信号表示为

x n aej 0e

j

2 fcn T

w n n 0,1,2, ,N 1 （1）

式中: a，fc，频率和初相; T为采样间隔; N 为样本数; w n 0 分别为振幅、为实部和虚部相互独立的、方差为2 2的零均值复高斯白噪声。

对x n 作FFT , 取其中的最大谱线值 X k0 。上面给出利用Rife算法进行正弦波频率估计的计算公式。

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X k0 r 1 f0 k r 0

T Xk0 Xk0 r

（2）

利用当fc位于两个离散采样频率的中心区域时Rife 算法性能很好的特点，这里定义 k 3,k 23 为离散频率点k与k 1之间的中心区域。这种算法的基本思想是: 先用Rife 算法进行频率估计得 fc，然后判断 fc是否位于两相邻量化频率点中心区域; 如果是, 则将 fc作为最后的频率估计值; 否则对原信号进行适当的频移, 使新信号的频率位于两个相邻离散频率点的中心区域, 再用Rife 算法进行频率估计, 这样就可以保证较高的估计精度。具体算法如下。

假设x n 经过FFT以后的频谱为X k ，即

X k x n e

n 0N 1

j2 nk

N

k 0,1,2, ,N 1 （3）

求得最大谱线位置k0，根据式(2)得到fc的估计值 fc由于

k1

fc 0fs f，(式中 f为DFT量化频率间隔)。fc满足 X k0 X k0 r ，

N2

如果满足

k11

f fc 0fs f （4） 3N2

则认为 fc位于量化频率中心区域 ,作为最终估计值。反之, 需要进行修正。

估计值 fc 除可能满足式(4) 外, 可能还有两种情况:

(a)0 fc

k01

fs f； N3

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(b)0 fc

k01

fs f。 N3

为了使被估计信号频率尽量接近量化频率中点, 将信号x n 向左或向右频移 k量化频率单位, k可以按式(5) 确定

X k0 r 1

k （5）

2Xk0 Xk0 r

平移之后的信号为

x1 n x n e

j2 n

r kN

（6）

频谱为

X1 n x n e

n 0N 1

j

2 n

k r k N

k 0,1,2, ,N 1 （7）

当Xk0 1 Xk0 1时，r 1，对应于(a) , 谱线右移; 反之对应于(b)，r 1，谱线左移。

下面以r 1为例来说明。假设 fc的位置如图1所示。平移后的信号x1 n 的频率位于两相邻量化频率中点附近。利用Rife 算法求得x1 n 的频率估计值 f1c，将 f1c减去 k f就可以得到一个比较精确的原信号的频率估计值。

Rife 算法仅利用x1 n 的最大两根谱线值。将原始信号的频谱平移 k f后, 当r 1时, X1 k 的最大两根谱线一定位于k0和 k0 1 处, 而当r 1时, 最大两根谱线一定位于 k0 1 和k0处, 于是仅需计算出相应的两根谱线, 再作简

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单的判断就可以确定X1 k 的最大值, 最后再用式(2) 估计频率。因此不需要对

x1 n 作FFT , 仅需计算k0和 k0 r 两点的DFT 即可。

式(6) 中的频移因子 k是一个不确定的值, 与初始估计值 fc有关。因此上述方法需要计算复指数e

j2 n

kN

,计算量较大。为了避免每次进行频率估计都要计

1

,通过频移,新信号的频率将位于两个相邻3

算复指数, 考虑取一个固定值 k

量化频率点的中心区域, 仍然可以保证得到较高的精度。对于固定的 k,可以预先将e

j2 n

kN

计算好存放在RAM 里, 极大地减少了计算量。

由于受噪声的影响,可能出现图2 所示情况, fc与真实频率fc不在k0的同一侧, 不能保证一次频移就将新信号的频率移到离散频率的中心区域。此时可以对原始信号作二次频移, 然后再用Rife 算法进行估计, 得到最终估计值。整个算法的流程如图3 所示。

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2.4 Quinn 频率估计方法

Quinn 提出了利用FFT 主瓣内次大谱线与最大谱线FFT 系数复数值之比的实部进行频率插值的方法。设FFT 的最大值处的离散频率为m ,则m 1和m 1

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分别位于最大值的两侧, 且其中一个为次大值。定义 1 R S m 1 S m 及

1 和 2 R S m 1 S m ，式中R x 表示x取的实部,分别计算 111 1 ，则频率插值可表示为 212

, 0, 0 112 （1）

2,其他

研究S k 的相位, 并注意到式中幅度项符号的变化, 用 1， 2和 3分别表S k 在幅度最大值处、主瓣内第二大值处及主瓣另一侧第一旁瓣 …… 此处隐藏：2945字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……