高等数学第07章：定积分的几何应用

高等数学第07章：定积分的几何应用

第一节

定积分的几何应用

一、定积分的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 ㈠、在直角坐标系中求平面图形的面积 ㈡、在极坐标系下求平面图形的面积 三、用定积分求体积 ㈡、旋转体的体积 四、平面曲线的弧长

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一、 定积分的微元法 微元法是运用定积分解决实际问题的常用方法. 定积分所要解决的问题是求非均匀分布的整体量 (如:曲边梯形面积). 采用“分割取近似,求和取极限”的四个步骤,通过 分割将整体问题化为局部问题,以均匀代替非均匀(或 以直代曲)求得近似值,再通过求和取极限得到精确值. 其中第二步是关键. 下面先回顾求曲边梯形面积的四个步骤

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求曲边梯形面积的四个步骤: 求曲边梯形面积的四个步骤:⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A ) 分割区间[a,b],将所求量( [a,b],将所求量 分为部分量( 分为部分量(小曲边梯形面积 Ai 之和; )之和; 确定各部分量的近似值(小矩形面积); ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);

A i ≈ f (ξ i ) x i

⑶求和得所求量的近似值(各小矩形面积之和); 求和得所求量的近似值(各小矩形面积之和);

A ≈

∑

n

⑷对和式取极限得所求量的精确值(曲边梯形面积). 对和式取极限得所求量的精确值(曲边梯形面积)

i =1

f (ξ i ) x in

A = lim ∑ f (ξ i ) xiλ →0i =1

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其中形式 f (ξ i ) xi 与积分式中的被积式 f ( x ) d x

ξ i 替代, 用 替代, x 具有相同的形式. dx 具有相同的形式.如果把 用 替代, xi 替代, 这 样上述四个步骤简化为两步： 样上述四个步骤简化为两步： 第一步选取积分变量 x 并确定其范围 [ a , b ] ; 求定积分. 第二步找到面积微元 f ( x ) d x求定积分.于是面积就是将这些微元在区间上的“ 于是面积就是将这些微元在区间上的“无限累 a b 加”, 即从 到 的定积分. 的定积分. 这个方法通常称为 微元分析法,简称微元法. 微元分析法,简称微元法. 微元法

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概括可得：凡是具有可加性连续分布的非均匀 量的求和问题, 一般可通过微元法得到解决. 操作步骤： ⑴建立坐标系,选取积分变量并确定积分区间； ⑵找到相应的微元； ⑶以此微元作积分表达式,在积分区间上求定 积分. 微元法在自然科学研究和生产实践中有着广泛的 应用.

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二、用定积分求平面图形的面积 ㈠、在直角坐标系中求平面图形的面积 由定积分几何意义可知, ⒈⑴由定积分几何意义可知,当 f ( x ) ≥ 0 ,由曲线 时 y = f ( x ) ,直线 x = a , x = b ( a < b ) x 与 轴所围成 的曲边梯形的面积 A 为定积分 即

A=

∫

b

a

f ( x )d x

由微元法分析： 由微元法分析： 其中面积微元为 f ( x )d x , 的一个矩形面积. 它表示高为

f ( x ) 、底为 d x 的一个矩形面积. 底为

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⑵由定积分几何意义可知,当 f ( x ) ≤ 0 时,由曲 由定积分几何意义可知, 线 y = f ( x ) 直线 x = a , x = b ( a < b )与 x , 轴所围成的 b 曲边梯形的面积A 曲边梯形的面积A为 . A = f ( x )d x

∫

a

上的值有正有负时， ⑶ 当 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的值有正有负时 ， 则曲 线

y = f ( x ) 直线 ，

x = a, x = b

( a < b )与

x

轴围成的面积是在

x

轴上方和下方曲边梯形面

积的差. 积的差.

同样可由微元法分析

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一般地， ⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y = f ( x ), y = g ( x ), 所围的图形( 所围的图形(如 ( f ( x ) ≥ g ( x )) 及直线 x = a , x = b 图所示) 图所示)的面积为

A =

∫

b

a

[ f ( x ) g ( x )] d x

其中面积微元为. 其中面积微元为.

d A = [ f ( x ) g ( x )]d x[注意]:曲线 y = f ( x ), y = g ( x ) 注意] 的上下位置

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[由微元法分析]:

] ] (1)在区间 (1)在区间 [ a , b上任取小区间 [ x , x + d x,在此小区间 [ f ( x ) g (,底为 x )] dx 上的图形面积近似于高为 的小矩 形面积, 形面积,从而得面积微元为dA = [ f ( x ) g ( x )]dx

[ (2)以 为被积表达式, (2)以 f ( x ) g ( x )]为被积表达式,在区间 积分就是所求图形的面积. 积分就是所求图形的面积.A =

[ a , b ]作定

∫

b

a

[ f ( x ) g ( x )] d x

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类似地, 类似地,由曲线 为

所围成的平面图形(如图所示) 及直线 y = c , y = d 所围成的平面图形(如图所示)的面积

x = φ ( y ), x = ( y ), (φ ( y ) ≥ ( y ))

A=

∫

d

c

[ ( y ) φ ( y )]d y

其中面积微元

dA =[ ( y) φ( y)]dy

的左右位置. [注意]:曲线 x = φ ( y ), x = ( y ) 的左右位置. 注意]

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利用微元法求面积： 2 2 例1 计算由两条抛物线 y = x , x = y 所围成图形的面积. 面积. 解:⑴作出图形，确定积分变量 作出图形， 解方程组 y 2 = x

x,

y = x2

得两条抛物线的交点为 (0,0)和(1,1), 则积分区间为[ 则积分区间为[0,1]. 如右图所示) (如右图所示)

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⑵

在积分区间[ 在积分区间[0,1]上任取一小区间 [ x , x + d x, ]2 x x、

与之相应的窄条的面积近似地等于高为2 从而得面积微元 d A = ( x x )d x

的矩形面积(如上页图中阴影部分的面积) 底为 d x 的矩形面积(如上页图中阴影部分的面积),

求定积分得所求图形面积为

A=

∫

1

0

dA =

∫

1

03 2

( x x 2 )d x1 3

2 = 3

x

x

3

1 1 = 3 0

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例2:求曲线 y = x , y = ( x 2 ) 与 图形的面积. 图形的面积.2 2

x轴围成平面

作图， 为积分变量， 解:(方法一) (1) 作图，选定 y为积分变量， 方法一) 解方程组

y = x2 y = ( x 2) 2 得两曲线的交点为( 得两曲线的交点为(1,1), 可知积分区

间为[ 可知积分区间为[0,1]. 如右图所示) (如右图所示)

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(2)在区间[0,1]上任取小区间 [ y , y + dy] 对应的 在区间[ , 窄条面积近似于高为 ( 2 y ) y 的矩形面积， 底为 dy 的矩形面积，从而面积微元为

d A = [( 2

y)

y ]d y = 2 (1 y )d y3 2

(3)所求图形的面积为

A=

∫

1

0

2 (1

1 2 4 y )d y = ( 2 y y ) = 3 0 3

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方法二) 解 :( 方法二 ) 若选取