9.1平面及其基本性质(第1课时)

第九章 直线、平面、简单几何体第 讲(第一课时)

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●公理1、2、3及公理3的三个推论 ●用斜二测画法画水平放置的平面图 形的直观图 1.考查共点、共线、共面问题的分析 与判断. 2. 知道斜二测画法原理的应用.

高考猜想

3. 考查简单的截面图的画法.

1. 通常画平行四边形表示平面，当平面水 平放置时，一般把平行四边形的锐角画成 ______;当平面竖直放置时，一般把平行四边 45° 形的一组对边画成_________;画两相交平面时， 铅垂线 一定要画出它们的交线. 2. 公理1:如果一条直线上的两点在一个 平面内，那么_____________________都在这 这条直线上所有的点 个平面内.该公理用符号语言表述为__________ 若A、B∈l, 则α∩β=l,且 P∈l ____________________.

公理2:如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他公共点，这些公共点的 集合是_________.该公理用符号语言可表 一条直线 述为________________________________. 若点P∈α∩β,则α∩β=l,且 P∈l 公理3:经过__________________的三 不在同一条直线上 点，有且只有一个平面. 3. 推论1:经过一条直线和__________ 直线外一点 有且只有一个平面. 相交 推论2:经过两条______直线有且只有 一个平面.

平行 推论3:经过两条______ 直线有且 只有一个平面. 4. 如果构成图形的所有点都在同一 平面内，这个图形叫做 __________;如 平面图形 果构成图形的点不都在同一平面内，这 种图形叫做 __________ 立体图形 5. 表示空间图形的平面图形，叫做 空间图形的直观图.画空间图形的直观图， 有如下画法规则：

(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂 直 的 轴 Ox 、 Oy , 再 取 Oz, ∠ xOz= ____, 且 90° ∠yOz= ____. 90° (2)画直观图时，把它们画成对应的轴 O'x'、O'y'、O'z',使∠x'O'y'= ___________ , 45° 或135° ∠ x'O'z'= ____ , x'O'y' 所 确 定 的 平 面 表 示 90° 水平面 ________. (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的 线段,在直观图中分别画成 _______________ 平行于x′轴、 ____________的线段. y′轴或z′轴

(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段， 在直观图中保持不变 ______;平行于y轴 长度 的线段，长度为 ____________ . 原来的一半

1.α 、 β是两个不同的平面，在平面α内 取4个点，在平面β内取3个点，则由这7个点 最多可以确定 个平面. 32 定1

解：在α内取1个点，β内取2个点可以确 =12个平面; C 2C 1 在α内取2个点，β内取1个点可以确定4 3

C 4 C 32 =18个平面.

再加α、β 2个平面，故最多可确定32个 平面.

2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、 R分别是AB、AD、B1C1的中点，则正方 体的过点P、Q、R的截面图形是( ) D A. 三角形 B. 四边形

C. 五边形

D. 六边形

解：如图，分

别取C1D1、BB1、DD1的中 点E、M、N. 易证PQ∥MN∥RE, 从而P、Q、N、E、R、 M共面， 所以截面图形是六边形， 故选D.

题型1

确定平面的个数

1. 对空间三条直线，如果其中一条直线和另两条直线都相交，讨论由这三条直 线可以确定几个平面. 解:设a,b,c为三条直线,a∩b=A, a∩c=B. (1)若b∥c,则b、c确定一个平面， 且a在这个平面内，故共确定一个平面.

(2)若b与c异面，则由a、b确定一个平面， 由a、c确定一个平面，故共确定两个平面.

(3)若b与c相交，设b∩c=C.当a不经过C点时，A、B、C三点不共线，

由这三点确定一个平面，直线a、b、c都在这个平面内，故共确定一个平面.

当a经过C点时，a、b、c三线共点.若a、b、c共面，则确定一个平面；若a、b、c不共面，

则确定三个平面.

综上分析，这三条直线可以确定1个或2 个或3个平面. 点评：解决空间直线或点确定平面的个 数问题，一是先按已知元素之间的位置关系 (如直线分异面与共面，点分共线与不共线)进 行分类讨论；二是利用公理进行计数.

讨论一条直线和这条直线外 不共线的三点可以确定几个平面? 解：设点A、B、C为直线l外不共线的三点.

(1)若点A、B、C中任意两点与直线l都不共面，则直线l与点A、B、C分别确定一个平

面.又A、B、C三点确定一个平面，故共确定四个平面.

(2)若点A、B、C中有且只有两个点与 直线l共面，不妨设A、B两点与l共面，则 直线l与A 、 B两点确定一个平面，l与C点 确定一个平面，又A、B、C三点确定一个 平面，故共确定三个平面. (3)若A、B、C三点与l共面，则可以确 定一个平面.所以一条直线和这条直线外不共线的 三点，可以确定4个、3个或者1个平面.

题型2

空间的分割问题

2. 若三个平面两两相交，且三条交线互相平 行，则这三个平面把空间分成( C ) A. 5部分 B. 6部分 C. 7部分 D. 8部分 解：三条两两相交(不过同一点)的直线将平 面分成7个部分.拓展到空间，三个两两相交的平 面，当三条交线互相平行时，这三个平面将空间 分成7部分，故选C.