D8_3 向量的乘法运算

第三节 数量积 向量积 混合积一、两向量的数量积 二、两向量的向量积

第八章

三、向量的混合积

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一、两向量的数量积引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为

的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为

W F s cos 1. 定义设向量 a , b 的夹角为 , 称记作

M1

s W F s

M2

a b

为a 与b 的数量积 (点积) .

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b 在 a 上的投影为

ba b a 同理 ,当 b 0 时,故2. 性质

记作 Pr ja

b Pr ja

b

a 0, b 0则 a b 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(1) a a (2) a , b 为两个非零向量, 则有

a b 0

3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律

aa ( b)

b

(a b)

( a ) ( b ) a ( b ) (a b)(3) 分配律

c a Pr j b Pr jc c (a b) Pr jc

事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时 a Pr j b a b c c Pr jc a b c Pr jc c b a c b c a c Pr jc c Pr jc机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 证明三角形余弦定理

c 2 a 2 b 2 2ab cos 证: 如图 . 设

A

C B a , C A b , AB c则

cB

b

a

C

c

2

( a b ) ( a b ) a a b b 2 a b a b 2 a b cos 2 2

a a ,b b ,c c

c 2 a 2 b 2 2ab cos 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4. 数量积的坐标表示设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则

( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k )

i j j k k i 0

a b a x bx a y by a z bz两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于

cos

a b

a b cos , 得 a x bx a y by a z bz2 2 2 bx by bz机动 目录 上页 下页 返回 结束

2 2 ax a2 a y z

例2. 已知三点 M (1,1,1) , A( 2 , 2 ,1), B( 2 ,1 , 2 ) , 求 AMB . 解: MA ( 1, 1, 0 ) , MB ( 1, 0 , 1 ) 则

A B

cos AMB MA MB MA MB 1 0 0 2 2 AMB

M

故

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例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 且 与该平面域的单位垂直向量 为 ).

的夹角为

求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度

解:

P

v为单位向量

A v n

A

单位时间内流过的体积

v机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、两向量的向量积引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为

的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力矩是一个向量 M :

M OQ F OP F sin

F

O

OP F M 符合右手规则 M OP

PQ

L

F

M F

oM

P

OQ OP sin

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1. 定义

定义 设 a , b 的夹角为 , 向量 c方向 : c a , c b 且符合右手规则 模 : c a b sin

称 c 为向量 a 与 b 的向量积 , 记作

b

c a b引例中的力矩

(叉积)

a c a b a

思考: 右图三角形面积S=

b机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 性质

(1) a a 0 (2) a , b为非零向量, 则 a b 0证明: 当 a 0 , b 0 时,

a∥ b

a b 03. 运算律

a b sin 0 sin 0, 即 0 或

a∥ b

(1) a b b a(2) 分配律 ( a b ) c a c b c(证明略)

(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )机动 目录 上页 下页 返回 结束

4. 向量积的坐标表示式

设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则

( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k )

a x bx ( i i ) a y by ( j j )

a z bz ( k k ) (a y bz a z by ) i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx ) k机动 目录 上页 下页

k

i返回

j结束

向量积的行列式计算法

(a y bz a z by ) i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx ) ki j ax a y k az

a ax i a y j az k b bx i by j bz kax bx az bz

bx

b y bz

,

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例4. 已知三点 A(1, 2 , 3 ) , B( 3 , 4 , 5 ), C ( 2 , 4 , 7 ) , 求三角形 ABC 的面积

B

解: 如图所示, 1 S ABC AB AC sin 2 A 1 AB AC 2 i j k 1 1 2 2 2 ( 4, 6, 2 ) 2 2

C

1

2

4

1 2 4 ( 6) 2 2 2 14 2机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上 一点 M 的线速度 的表示式 .

解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取一点 O, 作 向径 它与 的夹角为 , 则

al

点 M离开转轴的距离

a r sin 且符合右手法则

M

v r机动 目录

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三、向量的混合积1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量

( a b ) c 为 a , b , c 的混合积 .几何意义

记作

a b c

a b

ca

b

以 a , b , c 为棱作平行六面体, 则其底面积 A a b , 高 h c 故平行六面体体积为

V Ah a b c

( a b ) c

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