高数6版第三章第2节

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上次课回顾

如果函数 f ( x )及 F ( x ) (1) 在闭区间[a , b]上连续, 初等函数的连续性 (2) 在开区间(a , b ) 内可导, 导函数是否有定义 f (a) f (b) f ( ) 0 罗尔定理 拉格朗日定理f (b) f (a ) f ( ) b a

f (b) f (a ) f ' ( ) F ' ( x) 0 ' 柯西定理 F (b) F (a ) F ( )Rolle 定理f (a ) f (b) Lagrange 中值定理 F ( x) x

Cauchy 中值定理

利用中值定理以及构造函数法证明等式与不等式。

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思考与练习1. 填空题1) 函数 条件, 则中值 2) 设 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理3 15 4 _____ .

方程

有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 上.

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2. 设 f ( x) C[ 0 , π ], 且在 ( 0 , π )内可导, 证明至少存在一点 ( 0 , π ) , 使 f ( ) f ( ) cot .

提示: 由结论可知, 只需证

即 设

f ( x ) sin x x F ( x ) f ( x ) sin x

0

验证 F (x ) 在 [ 0 , π ] 上满足罗尔定理条件.

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求极限的方法回顾xm xn lim m n x 1 x x 2

x lim xx 1

m m

1 xn 1 1 xn 1

x 1 [ x m 1 ... x 1 x n 1 ... x 1 ] lim x 1 x 1 x m 1 ... x 1 x n 1 ... x 1 ] [m n m n

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第二节 洛必达法则0 一. 型及 型未定式解法：洛必达 法则 0

二.0 , ,00 ,1 , 0型未定式解法

小结

思考题

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0 一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0

定义 如果 lim f ( x ) 0 lim F ( x ) 0, 那末极限lim f ( x ) 称为0 型未定式. x a x a x a F ( x) 0 ) 型未定式 同样有 ( ln sin ax 0例如,lim tan x , ( ) x 0 x 0limx 0

ln sin bx

,

(

)

定理 设(1) 当x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零;( 2) 在 a 点 的 某 去 心 邻 域 内 ( x )及 F ( x ) 都 存 在 ,f 且 F ( x ) 0; f ( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大); x a F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim . x a F ( x) x a F ( x )

定义

这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.

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0 当x 时的“ ” ,以及x a , x 时的“ ” , 该法则 0 仍然成立.

证: 由条件(1)(2)可知, a是f (x), F(x)的可去间断点.补充定义 f (a) = 0, F(a) = 0, 则当x U(a)时, 在[a, x] 或[x, a]上f (x), F(x)满足柯西中值定理的条件, 于是有f ( x ) f ( x ) f (a ) f ( ) F ( x ) F ( x ) F (a ) F ( )

位于 x 与 a之间, 当x a时, 有 a.又由条件(3)得到lim f ( x) f ( ) f ( x ) lim lim x a F ( x) a F ( ) x a F ( x )

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lim

cos x sin x 1 ? lim x 0 x 0 1 x

xm xn mx

m 1 nx n 1 m n lim m ? lim n x 1 x x 1 mx m 1 nx n 1 m n x 2

0 ( )( ) 分子分母分别求导数 注意条件 0 0 注1. 若用了一次洛必达法则以后, 还是 0 型.

极限不存在

则可继续第二次用洛必达法则. 注2. limf ( x ) 要存在或为 ,才能用洛必达法则 . ( x ) g2

1 1 1 2 x sin cos x sin 比如 x x x lim 用洛必达法则后变成 lim x 0 ln(1 x ) x 0 1 1 x

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洛必达法则是对未定式而言的，非未定式不能用

例1 解 例2 解

tan x 求 lim . x 0 x

0 ( ) 0

(tan x ) sec2 x 原式 lim 1. lim x 0 ( x) x 0 1

洛必 达法 则还 可以 用吗？

x3 3x 2 0 求 lim 3 . ( ) x 1 x x 2 x 1 06x 3 3x2 3 lim . 原式 lim 2 x 1 6 x 2 x 1 3 x 2 x 1 2

练习

求 lim 2x

arctanx 1 x

0 .( ) 0

1 π arctan n 2 2lim 1 x 2 lim x 原式 lim x 1 1 x 1 x 2 n n x2

1.

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ln sin ax 例3 求 lim .( ) x 0 ln sin bx

解 例4 解

cos bx a cos ax sin bx lim 原式 lim 1. x 0 cos ax x 0 b cos bx sin ax

tan x 求 lim . tan 3 x x 2

( )

se c2 x 1 cos 2 3 x 原式 l im lim 2 3 se c 3 x 3 x cos 2 x x 2

2

sin 6 x 1 6 cos 3 x sin 3 x lim lim 2 cos x sin x 3 x x sin 2 x22

lim2

6 cos 6 x 3. 2 cos 2 x x

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ln x 求 lim n .( n 0) 0 幂函数增大的“速度”比对数函数快. x x 存在正整数 k , 使当 x > 1 时, x k x n x k 1 xn 求 lim x .( 0) 0 指数函数增大的“速度”比幂函数 x e 快. tan x x . 例5 求 lim 2 x 0 x tan x

解

tan x x sec2 x 1 1 tan 2 x 原式 lim lim lim 3 x 0 x 0 x 3 x2 3 x 0 x 2 2 sec2 x tan x 1 1 tan x lim . lim x 0 6x 3 x 0 x 3

注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它 求极限方法结合使用，效果更好.

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二、 , ,00 ,1 , 0型未定式解法 0关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 0 ( ) ( ), 0

1. 0 型

步骤:

1 0 , x

1 或 0 0 . 0

例6解

求 lim x 2e x . ( 0 )ex ex ex lim 原式 lim 2 li m x 2 x 2 x x x

.

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例7 求 lim x n ln x . ( 0 )x 0

解

1 ln x xn x 原式 lim n lim ) 0 n 1 lim( x 0 nx x 0 x x 0 n

对数函数与反三角函数一般不“下放”

2. 型例8解求 lim(x 0

步骤:

0 0 1 1 . 0 0 0 0

1 1 ). sin x x

( )

sin x ~ x,

x sin x 1 cos x 原式 lim lim x 0 x sin x x 0 sin x

x cos x

lim

sin x 0. x 0 2 cos x sin x

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3. 00 ,1 , 0 型步骤:

00 0 ln 0 1 取 对 数 ln 1 0 . 0 ln 0 1 x 1 x2

例9 解

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