第三节 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数

第三节 隐函数的导数和由参 数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率

一、隐函数的导数定义： 定义：若由方程 F(x,y)=0 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此函数为隐函数. 则称此函数为隐函数. 隐函数 表示的函数称为显函数 的函数称为显函数. 由 y=f (x) 表示的函数称为显函数.F ( x, y) = 0 y = f ( x)

隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数不易显化或不能显化如何求导 隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 复合函数求导法则直接对方程两边求导. 求导法则直接对方程两边求导

隐函数求导方法: 隐函数求导方法:

两边对 x 求导 的方程) (含导数 y′ 的方程)

例1 求由方程 xy e x + e y = 0 所确定的隐函数 dy dy y = y( x ) 的导数 , x=0 . dx dx 解 方程两边对 x 求导 , 得dy x y dy y+ x e +e =0, dx dx dy e x y 解得 , = y dx x + e

由原方程知 x = 0 , y = 0 ,dy ∴ dxx =0

ex y = x + ey

x =0 y=0

= 1.

例2 求由方程 y = 1 + x sin y 所确定的隐函数 dy y = y( x ) 的导数 . dx 解 方程两边对 x 求导 , 得y′ = sin y + x cos y y′ ,解得 注意： 注意： 隐函数的导数的表达式中一般同时含有变量 x 和 y .

sin y y′ = . 1 x cos y

例3 设曲线 C 的方程为 x 3 + y 3 = 3 xy , 求过 C 上 3 3 点 ( , )的切线方程 , 并证明曲线 C 在该点的法 2 2 线通过原点 . 解 方程两边对 x 求导 , 3 x 2 + 3 y 2 y′ = 3 y + 3 xy′∴ y′33 ( , ) 22

y x2 = 2 y x

3 3 ( , ) 2 2

= 1.

3 3 所求切线方程为 y = ( x ) 即 x + y 3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y = x 即 y = x , 显然通过原点 显然通过原点. 2 2

例4

设 x xy + y = 1 , 求 y′ 在点 ( 0,1)处的值 .4 4

解 方程两边对 求导得 方程两边对x4 x 3 y xy ′ + 4 y 3 y ′ = 0代入 x = 0, y = 1得y′x=0 y =1

(1)1 = ; 4

二、对数求导法( x + 1)3 x 1 , 观察函数 y = 2 x ( x + 4) e y = x sin x .

对数求导法: 对数求导法 先在方程两边取对数, 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. 方法求出导数 有些函数用对数求导法求导很方便 . 适用范围: 适用范围:

多个函数相乘和幂指函 数 u( x )

v( x)

的情形 .

( x + 1)3 x 1 例1 设 y = , 求 y′. 2 x ( x + 4) e解 等式两边取对数得1 ln y = ln( x + 1) + ln( x 1) 2 ln( x + 4) x 3 上式两边对 x求导得y′ 1 1 2 = + 1 y x + 1 3( x 1) x + 4

( x + 1)3 x 1 1 1 2 ∴ y′ = 2 x x + 1 + 3( x 1) x + 4 1 . ( x + 4) e

a a b x 例2 设 y = ( a > 0 , b > 0 , ≠ 1 ) , b b

x a 求 y′ .解 等式两边取对数得a ln y = x ln + a [ ln b ln x ] + b [ ln x ln a ] b y′ a a b = ln + 上式两边对 x 求导得 y b x x

x

a

b

a b x a a b ′ = ln + . ∴y b x a b x x

x

a

b

对幂指函数 y = u( x)

v( x )

求导也可用对数求导法. 求导也可用对数求导法

例3 设 y = x sin x ( x > 0), 求y′. 解 等式两边取对数得 ln y = sin x ln x上式两边对 x 求导得y′ 1 = cos x ln x + sin x y x

1 ∴ y ′ = y(cos x ln x + sin x ) x sin x sin x ). = x (cos x ln x + x

例4 设 (cos y ) x = (sin x ) y , 求 y′. 解 等式两边取对数得上式两边对 x 求导得

x ln(cos y ) = y ln(sin x )

ln(cos y ) x tan y y′ = y′ ln(sin x ) + y cot x∴ y′ = ln(cos y ) y cot x . ln(sin x ) + x tan y

三、由参数方程所确定的函数的导数 x = (t ) 确定 y 与 x 间的函数关系, 若参数方程 y =ψ (t ) 数 则称此函数为由参数方程所确定的函 .2t x x = 2t , 消去参数 t 例如 t= 2 2 y = t , x2 1 x 2 2 ∴y=t =( ) = ∴ y′ = x 2 4 2问题: 消参困难或无法消参如何求导? 问题: 消参困难或无法消参如何求导

x = (t ) 在方程 中, y = ψ (t )

设函数 x = ( t ) 具有单调连续的反函数 t = 1 ( x ) ,

∴ y = ψ [ ( x )] 1

再设函数 x = ( t ) , y = ψ ( t )都可导, 且 ′( t ) ≠ 0 ,

由复合函数及反函数的求导法则得 dy d y d y d t ψ ′( t ) dy dt ψ′(t ) = = 即 = = dx d t d x ′ ( t ) dx dx ′(t ) dt

例1

x = a cos 3 t 求由方程 3 所确定的函数 y = a sin t y = y( x ) 的一阶导数 .

解

dy dy 3a sin 2 t cos t = dt = = tan t 2 dx dx 3a cos t ( sin t ) dt

例2 求摆线 x = a ( t sin t ) 在 t = π 处的切线方程 . y = a (1 cos t ) 2 解 当 t = π 时, x = a (π 1), y = a . 2 2dy = dxdy dt dx dt

a sin t sin t = = a a cos t 1 cos t

dy ∴ dx

t=

π2

=

sin

π2

1 cos

π2

= 1.

故所求切线方程为 y a = x a ( 1) 2 π 即 y = x + a( 2 ) 2

π