贵州师范大学数计学院《中学数学研究》(几何) (A)

贵州师范大学数计学院《中学数学研究》（几何） （A）

期末考试答案及评分标准（02数本）

一、分别用直接证法、反证法、同一法证明命题（共18分，每种方法6分） 已知：D、E在BC上， BAD CAE, B C。 求证：AD AE 证明：⑴直接证法

ADE B BAD, AED C CAF B C, BAD CAF ADB AED, AD AE

B

C

⑵若AD AE，不妨设AD AE，

ADE中， AED ADE，又 AED C CAE, ADE B BAD

又 B C, BAD CAE， AED ADE，矛盾

AD AE不成立，同理AD AE不成立。 AD AE ⑶作AE AD交BC于E，则 ADE AED

又 AE D C CAE , ADE B BAD

B C, BAD CAE ，又 BAD CAE, CAE CAE

所以E与E 重合， AE AD

二、（20分）CD和BE分别是 ABC中 ACB和 ABC的外角平分线，CD AD,BE AE，求ED的长。

解：延长AE交CB于F，延长

B

AD交BC于G。由

F

C

G

已知 1 2

BE AE，则 ABF为等腰三角形，AB BF,AE EF

同理可证AC CG,AD DG F就是 AFG的中位线，ED 又FB AB,CG AC, ED

1

为半径的圆。 6

已知： ABC中 A 90 ，BC为固定边，BC a，G为 ABC的重心，BC重点为O。

a

求证：点G的轨迹是 O() 6

证明：1（完备性）

1G是Rt ABC的重心，GO AO

3

又AO是Rt ABC斜边上的中线

BC

111111AO BC a， GO AO a a

223326

a

所以G在 O()上。

6

aa

2（纯粹性）设G是 O()上任一点，连OG延长到A，使OA 3OG。设 O()交BC于E、F，EF

66

是 O直径， EGF 90 OEOFOG1

,EG//BA,GF//CA； BAC EGF 90 ，G是 BAC重心。 又

OBOCOA3

a

由1、2知，点G的轨迹是 O()。

6

四、（20分）已知梯形的两底及两对角线的长，求作梯形。

11

FG (FB BC CG)， 22

1

AB BC CA 2

三、（21分）直角三角形的斜边固定，重心的轨迹是以斜边的中点为圆心，斜边的

已知：线段a,b,m,n

求作：梯形ABCD,AD//BC,AD a,BC b,AC m,BD n

E，分析：设图形已经作出，作D AD//BC，则B、C、E共线， BDE中，

T(AC)

BD n,DE AC m,

BE BC CE BC AD a b

DBE可作出，其余部分可依次作出。

BE

作法：作 DBE，使DB n,DE m,BE a b。在BE上截取EC a，作CA平行且等于DE，连AD、AB。四边形ABCD为所求。

说明：由作法CA平行且等于DE，AD平行且等于CE。ABCD为梯形，由作法

AD CE a,BC b,DB n,AC DE m。梯形ABCD为所求。

讨论： DBE作出，则有解，即m n a b,m a b n

n a b m时有一解，否则无解。 五、（21分，每小题7分）四棱柱P ABCD，底面ABCD是正方形，PA 底面AC，侧棱PB和PD都与底面成45 。

求：⒈PC和BD所成的角； ⒉PC和底面所成的角；

⒊侧面PBC和PDC所成的角。

解：⒈设正方形边长为1，正方形ABCD中，AC BD，PA 底面AC，PC在底面射影为AC。

BD AC, BD PC。PC和BD所成的角为90 。

⒉因为PA 底面，PC和底面交角为 PCA，由 PBA PDA 45

PA AB 1,AC 2, PCA 12

2 2

⒊过D作DE EC于E，连BE。由DB PD,BC CD,PC PC, PBC PDC

BCP DCP,CE CE,BC CD, BCE DCE，所以BE PC， BED为所求二面角的平面角。 CD DA, CD DP, PDC 90 ,

DEDCDC PD

,DE PDPCPC

又PC CD2 PD2 2

22

3，所以DE

2

2

1 23

2

6

3

6 2223 3 DE BE BD cos DEB

2DE BE62

33

DEB 120

2

1 2