一类特殊块下三角复合矩阵可换的研究

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导读：高等数学第28卷第4期2010年07月佳木斯大学学报（自然科学版）JournalofJiamusiUniversity（NaturalScienceEdition）Vol．28JulyNo．42010 文章编号：1008－1402（2010）04－0604－04 一类特殊块下三角复合矩阵可换的研究侯春娟（广东商学院华商学院，广东

高等数学

第28卷第4期2010年07月佳木斯大学学报（自然科学版）JournalofJiamusiUniversity（NaturalScienceEdition）Vol．28JulyNo．42010

文章编号：1008－1402（2010）04－0604－04

一类特殊块下三角复合矩阵可换的研究

侯春娟

（广东商学院华商学院，广东广州511300）

①

摘

通常的特征值问题是块复合矩阵之块特征值的一种特殊形式．本文主要应用块复合矩

阵的可换的定义，研究了一类特殊块下三角复合矩阵A和B可换的条件．

要：

关键词：

块复合矩阵；下三角矩阵；块特征值；块特征向量．中图分类号：O151．21文献标识码：A

1）tA1p1A2p2…Ampm

P2，…，Pm的逆序数；式中t为排列P1，

0引言

特征值问题的研究一直以来都是数学矩阵方面的重点课题，特别对于块复合矩阵的块特征值领1］－［2］）也颇具系统．复合矩阵是矩域的研究（［

3］－［5］）．随着矩阵理论在自然阵的一个延伸（［

科学、工程技术和社会经济领域的广泛应用和迅速

发展，用复合矩阵来定义的可加复合矩阵在微分方程定性理论中独具魅力．在矩阵的理论中，矩阵的运算起着重要的作用，矩阵之所以重要关键还在于可以对它进行若干个不同方式的且很有实际意义的结合．

∑表示对

P2，…，Pm求和．A的行列式DetA［6］为：排列P1，

DetA=Det（detA）．若DetA≠0则称是A非奇异．

2一类特殊的块复合矩阵

设A和B同为n阶下三角矩阵，下面讨论A和

B可换（若A+B=AB则称A与B可换，其中A和B为同阶方阵［6］）时所需满足的条件：

（i）当n=2时，设A=

(

a11a21

0a22

)

，B=

1定义

［6］

(

b11b21

0b22

)

则当满足A+B=AB时，即

记Pn（C）是两两可换的n阶复方阵集合；Mp，且每一子块都属q（Pn）表示所有分为p×q块，

于Pn（C）的复合矩阵集合，特别地，当p=q=r时简记为Mr（Pn）．若对任意的A∈Mm（Pn），存在Λ∈Pn（C）及行（列）满秩阵X∈Mm，1（Pn）使AX=XΛ．则称Λ为A的块特征值，X为相应的块特征向量．当n=1时块特征值问题即是通常的特征值问题，在本文中总记为A∈Mm（Pn），其形式为： A11

A21

… Am1

A12A22…Am2

…………

A1m A2m

（i，j ，其中Aij∈Pn（C），

… Amm

{

a11b11=a11+b11a22b22=a22+b22

a21+b21=a21b11+a22b21

（a22－1）（b22－1）=1

a21+b21=a21b11+a22b21

（1）

{

（a11－1）（b11－1）=1

（2）

由（1）得

{ab

即所以

a21b11=a11b11a21－a11a21

2221

=a22b22b21－b21b22

a21+b21=a11b11a21－a11a21+a22b22b21－b21b22a21（a11b11－a11－1）+b21（a22b22－b22－1）=0

=1，2，…，m），

其形式行列式定义为：detA

∑（

－

a21（a11（b11－1）－1）+b21（b22（a22－1）－1）=0

①

收稿日期：2010－07－21

作者简介：侯春娟（1983－），女，硕士，广东商学院华商学院会计系数学教师．

高等数学

第4期侯春娟：一类特殊块下三角复合矩阵可换的研究605

即

a21（（a11－1+1）（b11－1）－1）

+b21（（b22－1+1）（a22－1）－1）=0从而

a21（b11－2）+b21（a22－2）=0

亦即

a21b11+a22b21=2（a21+b21）

再由a21b11+a22b21=a21+b21，可知n=2时A与B可换需满足

{a21+b21=0

a21b

+a（3）22b21=0

a11

（ii）当n=3时，设A= a21

a220 ，B=a31

a32

a 33

b1100 b21b220 ，则当满足A+B=AB时，即b31

b32

b 33

{

aiibii=aii+bii（i=1，2，3）a21+b21=a21+b11+a22b21

a31+b31=a31b11+a32b21+a33b31

则

{a31b11=a11b11a31－a11a31

a33b31

=a33b31b33－b31b33

同（i）方法相同，整理后可得

{a31b31=0

a31b

+a32b21+A33b31=0

所以当n=3时A与B可换，需满足下述条件：

{ai1+bi1=0（i=1，2，3）

∑

a2ibi1=0，i=1

∑a3ibi1=0

i=1

（iii）假设n=k时，A与B可换，满足下述条件：

{ai1+bi1=0（i=1，2，3，…，k）

∑

a2ibi1=0，…，i=1

∑akibi1=0

i=1

则n=k+1当时，A与B可换，除满足n=k时的条件外，还需满足下述条件：

{

a11b11=a11+b11

ak+1，k+1bk+1，k+1=ak+1，k+1+bk+1，k+1

k+1

ak+1，1+bk+1，1=

∑ak+1，ibi，1

i=1

则

{ak+1，1b11=a11b11ak+1，1－a11ak+1，1

k+1，k+1

bk+1，1=ak+1，k+1bk+1，k+1bk+1，1－bk+1，1bk+1，k+1

按同样的方法，可得

{ak+1，1+bk+1，1=0

k+1∑

ak+1，ibi1=0

i=1

所以，当n=k+1时，A与B可换，需满足的条

件为：

{ai1+bi1=0（i=2，3，…，k+1）

2k+1

∑

a2ibi1=0，…，i=1

∑ak+1，ibi1=0

i=1

综上，对任意的整数n≥2，当A和B可换时，需满足以下条件：

{ai1+bi1=0（i=1，2，3，…，n）

∑

a2ibi1=0，…，ak+1，ibi1=0

i=1

∑i=1

以上结论为两个实矩阵（即M1（Pn）可换时所

满足的条件，其中M1（Pn）为Mm（Pn）的特殊形式．那么，此结论可否推广至任意两个块复合矩阵？下

文讨论A，

B∈Mm（Pn）的情形：10

当n=2，m≥2时，设A，B∈Mm（P2），且A=

(

A110)(B11A，B=

21A22B21B22

)

若A与B可换，则满足

{

A11B11=A11+B11

A22B22=A22+B22

（4）

A21+B21=A21B11+A22B21{

（A11－Im）（B11－Im）=Im（A22－Im）（B22－Im）=ImA21+B21=A21B11+A22B21由（4）得

{A21B11=A11B11A21－A11A21

A22

=A12A22B21－B21B22

即

A21+B21=A11B11A21－A11A21+A12A22B21－B21B22所以

A21（A11B11－A11－Im）+B21（A22B22－B22－Im）=0A21（A11（B11－Im）－Im）+B21（B22（A22－Im）－Im）=0即

A21（（A11－Im+Im）（B11－Im）－Im）

+B21（（B22－Im+Im）（A22－Im）－Im）=0从而

A21（B11－2Im）+B21（A22－2Im）=0

高等数学

606佳木斯大学学报（自然科学版）2010年

亦即

A21B11+A22B21=2（A21+B21）

再由A21B11+A22B21=A121+B21，可知A与B可换需满足

{A21+B21=0

A21

+A22B21=0

当n=3时，m≥2时，若A，

B∈Mm（P3）可换

A11

00 B11

设A= A21

A220 ，B= 0 ，则A31

A B21B2232

B31B32

B 33

当满足A+B=AB时，即

{

AiiBii=Aii+Bii（i=1，2，3）

A21+B21=A21B11+A22B21

A31+B31=A31B11+A32B21+A33B31

则

{A31B …… 此处隐藏：4400字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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