狄拉克与狄拉克方程

狄拉克与狄拉克方程

英国著名理论物理学家狄拉克（Paul Dirac 1902～1984）；在量子力学领域把哈密顿理论推广到原子方面，建立了量子力学变量的运动方程，使海森堡的矩阵力学成为一个完善的理论。他在薛定谔方程的基础上提出了相对论波动方程，凭借自己非凡的想象力，大胆地预言了“反粒子”的存在。并依靠自己卓越的逻辑推理做出第一流的科学工作，使他置身于20世纪最伟大的理想物理学家行列。

5、1 狄拉克算符

1925年前后，剑桥大学的俄籍物理学家卡皮察（Peter Leonidovich Kapitza，1894～1978）组织了定期科学讨论会叫“卡皮察俱乐部”。每周二晚举行聚会，首先有人自愿宣读自己新近完成的科学论文，然后大家进行讨论和争论。这年夏天，海森堡应邀到这个俱乐部作了一次关于反常塞曼效应的报告。临到结束时，他又介绍了自己关于建立量子论的一些新的想法。不久，海森堡回到德国以后又把自己关于矩阵力学的论文寄一份给福勒（Fowle r sir Ralph Howard，1899～1944）。9月，在剑桥大学跟随导师福勒攻读研究生的狄拉克，在度假时收到了福勒寄给他的海森伯关于量子力学的第一篇论文的校样；狄拉克认真思考了用矩阵元表述的新力学量的不可对易性。例如，两个力学量相乘pq≠qp，这显然违背了过去的力学量（标量）之间的乘法交换规则，开始思索时感到不可思议，而后却意识到这种不对易性恰恰是新的力学理论的重要特征。并从潜意识中感觉到，不对易性与哈密顿力学中的泊松括号十分类似。泊松括号是19世纪法国数学家泊松（S．Poisson）发明的一种简化算子记号，用以表述两个不可对易量的微分乘积的关系。如果能找到这二者之间的联系，就能证明在量子力学和经典力学的哈密顿理论表述之间有某种内在关系，哈密顿力学体系的很多计算和表述方

式有可能移植到量子力学中来。例如，把微观客体的运动规律描述为以哈密顿函数（能量函数）和广义坐标、广义动量之间关系的统一数学系统。狄拉克把海森伯理论纳入哈密顿公式体系，把量子力学的对易关系类比于经典力学中的泊松括号，得出一种处理量子论中力学量的偏微分方法，这种办法一般称为正则量子化方案，并很快写成了他的成名作“量子力学的基本方程”。狄拉克这项工作澄清了量子变量与经典变量之间的关系，使海森伯的矩阵力学成为一个完善的理论。这篇以“量子力学的基本方程”为题的论文，随后就在皇家学会的会刊上发表。海森堡看到论文后认为，狄拉克的表述形式简洁优美，而且作为一项新成果把量子论向前大大推进了一步。

5、2 费米—狄拉克统计

1926年，薛定谔发表了一系列关于波动力学的论文，波动力学和矩阵力学相比显然具有某种优越性；同年6月，玻恩对薛定谔波函数提出了几率解释，认为波动力学中的波函数平方是位形空间里的几率密度，原先的矩阵力学与波动力学具有某种物理学上的类似性：矩阵元平方所描述的是坐标确定时各种可能的能量本征值的出现几率，而波函数模数的平方所描述的，则是能量确定时各种可能的位置本征值的出现几率；波动力学与矩阵力学在数学上是等效的。但由于在波动力学框架中可以引进位形空间波函数，它在处理多体问题时就比较方便，特别是便于用来研究多体系统的统计法，被大多数物理学家普通接受。

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在薛定谔多体波函数的启示下，狄拉克考虑到全同粒子的不可分辨性，得到了一类处于平衡态的粒子系统行为所遵从的费米—狄拉克统计。所谓全同粒子是指互换这类粒子并不导致系统出现新的状态。全同粒子系统可分两类，一类由对称波函数描述的粒子所构成的系统，称玻色系统。这种粒子遵循的统计称玻色—爱因斯坦统计，是由玻色（Bose Satendra Nath，1894～1974）和爱因斯坦在1924年先后提出来的。另一类由反对称波函数描述的粒子所构成的系统，这种粒子必须遵循泡利不相容原理，每个量子态上至多只能有一个粒子，它们遵循的统计称费米—狄拉克统计。是由费米（Fermi Enrico，1901～1954）和狄拉克在1926年先后提出的。

设近独立全同粒子组成的系统具有确定的粒子数Ni、能量E和体积V，以εi和gi分别表示单粒子的第i个（i=1，2，3， ）能量和对应该能量的量子态数（简并度）。对于玻色系统，由于粒子的不可分辨和每个态上占据的粒子数不限，则给定的Ni个粒子分布在gi个量子态的方式数，等于从Ni+gi－1个元素中选取gi－1个元素的组合数(Ni gi 1)。考虑Ni!(gi 1)!

(Ni gi 1)!。Ni!(gi 1)!各能级的结果，就得到对应粒子数分布｛Ni｝的系统微观状态数WB,E i

对于费米系统，Ni个不可分辨的全同粒子分布在gi个状态上（每个态上至多只能有一个粒子）的可能方式数，就是从gi个元素中选取Ni个元素的组合数，应该等于gi!，Ni!(gi Ni)!则对应粒子数分布｛Ni｝的系统微观状态数：WF,B igi!。虽然这后一种统计Ni!(gi Ni)!

法已由费米在几个月前就推导出来了，但狄拉克却更深刻地给出了统计类型与波函数对称性质间的内在联系，并且证明了在波函数为反对称的情况下费米统计是量子力学的必然结果。因此，后人称这种统计为费米—狄拉克统计。

5、3 狄拉克方程

1926年克莱因（Klein Osker，1894～1977）和戈登（Gdrdon Walter，1893～1940）提出一种相对论性波动方程，受到当时许多物理学家的赞赏。但狄拉克觉得，方程并不太美，因为它出现物理学上无意义的负几率。为了摆脱负几率，克莱因和戈登试图把几率密度改为电荷密度的权函数，但这一改变却意味着克莱因—戈登方程描述的不是单个电子而是正负电子的集合。1928年初，海森伯觉得，为了公平地对待实物与辐射，物质波与电磁场都必须量子化。同时对电子的电荷、质量和计算步骤，都将从第二次量子化中自然地产生，而不需要作为特定的假设来引进。并产生了海森伯与泡利的量子场论的方案，它将处理包括实物、辐射在内的任何种类的原子问题。

狄拉克又一次给出一个决定性的推进，1928年元月初，他向皇家协会报告了他的最新成就，相对论性电子波动方程，后来以“狄拉克方程”的名义载入史册。狄拉克建立了一种对时间坐标和空间坐标都是线性的描述单粒子行为的微分方程。狄拉克方程主要是把量子化过程应用于波函数本身，是对薛定谔波动方程的改进，同时，他对于量子力学的物理含义做出了自己的物理诠释。他的这项工作被称为“二次量子化”方案，并考虑到相对论效应建立了一个一阶方程，即狄拉克相对论电子波动方程；相对论电子波动方程可以列入20世纪科学的最高成就之一。狄拉克叙说道：“我的许多工作正是玩弄方程，并看它们给出些什么”，

引导他达到目的的游戏是他的观察： p p 1（其中1是2×2的单位矩阵）。“那是个2 2

漂亮的数学结果。我为此非常激动。看起来它必定有些重要的东西。”如何把它推广到四个而不是三个平方的和，并由此得出：p1 p2 p3 p4 mc，p4 222224iE。“这让我思c

考了好一阵子 之后我突然认识到不需要把量σ 固定在刚好二行二列上，为什么不想

mc 到四行四列呢？”这样就诞生了狄拉克方程： 0， x

mc iE 。狄拉克把代入x x,ict。现在通常缩写为： 0p 4 c x

2222222E cp2 m2c2。p12 p2 p3 p4 m2c4后，并令p=p1 p2 p3化简后得：

狄拉克对波函数的物理含义有很明确的看法，即波函数绝对值的平方等于微观客体某一时刻在某处表现的概率。以这一方程为核心内容的狄拉克电子理论，为20年代量子物理学中原先是各自独立的主要实验事实，包 …… 此处隐藏：4434字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……