数理统计与随机过程1——概率论

主讲: 路永刚 E-mail: ylu@http://doc.guandang.net

兰州大学信息科学与工程学院

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教材： 盛骤等，《概率论与数理统计》(第四版),高等 教育出版社，2008 主要参考书： Athanasios Papoulis, 《Probability, Random Variables and Stochastic Processes》, (3rd edition),McGraw Hill,1991 Emanuel Parzen, 随机过程, 邓永录、杨挀明译， 北京：高等教育出版社，1987年 孙荣恒，随机过程及其应用，北京：清华大学出版 社，2004年 2

讲解(+提问)(70%) 分组讨论(20%)

总结(10%)

考勤: 20% 作业+课堂讨论: 40% 开卷考试: 40%

数理统计是研究如何有效地收集数据， 并利用统计模型对这些数据进行分析， 形成统计结论，为决策提供依据。 数理统计具有广泛的应用，几乎渗透到 人类活动的一切领域。

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随机过程是研究随机现象随时间变化过程的规律性 的学科。在概率论中主要考虑一个、多个随机变量， 而随机过程则主要同时考虑无穷多个随机变量，研 究它们的概率规律。

随机过程在通讯与控制、物理、生物、管理科学等 许多领域中有着重要的应用。

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数理统计基础 假设检验 回归分析与方差分析 随机过程基本概念 马尔可夫链 ，平稳过程

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概率论基础 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 样本及抽样分布 参数估计

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第一节 概率论基础确定性现象

自然界与社会生活中的两类现象不确定性现象

确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定

——随机现象

例：向上抛出的重物会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖 9

对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生

例：

抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记 10

(一)样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S={e}, 称S中的元素e为基本事件或样本点.

(二) 随机事件 一般我们称S的子集A 为随机试验E的随机事件。 当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。

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(三) 事件的关系 事件的关系1 A B:事件A发生一定导致B发生 A B 2 A=B B A

3、A与B的和事件，记为 A B

4、A与B的积事件，记为 A B, A B, AB5、当AB= 时，称事件A与B不相容的，或互斥的。 A A S A B S

, 若 ,称A, B互逆、互斥 6、 A的逆事件记为A, A A A B

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(一)频率 n f ( A) A ; 定义：记 n n 其中 nA —A发生的次数(频数); n—总试验次数。 称 fn ( A) 为A在这n次试验中发生的频率。 例： 某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记 A={听课迟到},则 fn ( A) 15 17 88% # 频率 fn ( A) 反映了事件A发生的频繁程度。 13

频率的性质：1。 0 f n ( A) 1 2。 f n ( S ) 1 3 若A1 , A2 ,…,Ak 两两互不相容，则 f n ( Ai ) f n ( Ai )。 i 1 i 1 k k

且 fn ( A) 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p.

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(二) 概率f 定义1:n ( A) 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p

定义2:将概率视为测度，且满足：1。 0 P( A) 1

2。 P( S ) 13。 若A1 , A2 ,…,Ak 两两互不相容，则 P( Ai ) P( Ai )i 1 i 1 k k

称P(A)为事件A的概率。 15

概率的性质：1 P( A) 1 P( A) A A S P( A) P( A) 1 P( ) 0

2 若A B,则有 P( B A) P( B) P( A) P( B) P( A) B A AB P( B) P( A) P( AB)

P( B) P( A) P( AB) P(B A) 0 P( B) P( A)

3 概率的加法公式：P( A B) P( A) P( B) P( AB) A B A ( B AB) P( A B) P( A) P( B AB)

又 B AB,由2。 知P(B AB) P(B) P( AB) P( A B) P( A) P( B) P( AB)

#3 的推广：

。

P( Ai ) P( Ai ) i 1 i 1

n

n

1 i j n

P( Ai Aj )

1 i j k n

P( Ai Aj Ak ) ( 1) n 1 P( A1 A2 An ) 16