边界单元法基础(直接法讲义)

边界单元法基础(直接法讲义)

边界单元法基础（直接法）1一、概述 近年来在边界法方面人们发表了大量的 文章和著作。这些方法是以不同的名称而提 出来的，如“边界积分方程方法”“边界积分 解”，等等。这种方法的数值解形式是把所考 虑的域的边界划分为一系列的单元。 边界单元法简称 BEM 是七十年代兴起2的一种新的计算方法。它将边界上的广义位 移和广义力作为独立变量且同时用满足场方 程的奇异函数（源函数）作为加权函数。所 以，它是一种特殊格式的加权余量法。 边界元法只需将求解域的边界划分成单 元，故使求解问题的维数降低，如三维问题 可转变成二维问题求解。二维问题可化为一 维问题。因而，输入数据大为减少，计算时3间缩短。由于它只对边界离散，故离散误差 仅为来源于边界，而域内变量可由解析式的 离散形式直接求得。因此，提高了计算精度。 求域内变量时，只须改变其数量和坐标位置 即可。 和有限元法一样，边界元法可广泛地用 来解决各种工程问题，如弹性力学、断裂力 学、塑性力学、流体力学、温度场和电磁场4等。 边界元法分为直接法和间接法。直接法 是用物理意义明确的变量来建立积分方程， 其中未知函数就是所求的物理量在边界上的 值；间接法是用物理意义不一定很明确的变 量来建立积分方程，如位势问题中用单层位 势和双层位势表示物理量。本部分着重叙述 直接法。5在用加权余量法建立积分方程时，所使 用的权函数是数学上的“基本解” 。基本解在 数学上是作为微分方程的特殊的非齐次解定 义的，它在每个问题上分别具有不同的物理 含义。求这个解，特别是便于解析的形式， 一般是不容易的，这是数学上的难点。然而， 除了特殊问题以外，主要微分方程的基本解， 数学教科书中有所推导，工程技术人员可直6接引用。 边界元法另一个问题是，代数方程组的 系数矩阵一般是非对称的，且非零系数矩阵 为满秩矩阵，这是由于边界点与全部边界单 元有关得出的，编程序时需要注意这一点。 我们先介绍位势问题的边界单元法公 式。这些基本概念对任何其它工程问题是类 似的。然后再介绍利用边界元法求解弹性体7受力分析问题。这里强调的是方法在工程中 的应用。作为有限元法数值法的一个补充。 二、泊松方程的边界单元法 1．积分方程的建立和基本解 为了说明边界单元法的积分方程是如何 由加权余量法推导得来的，我们以泊松方程 为例来阐述其全部求解过程，这对了解其它8问题的边界元法求解是有益的。考虑势函数 φ。它在域内满足微分方程，即 2 ? ? ? f （在 Ω 上

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） （9-1） 在边界上满足边界条件，即 ? ?? （在 上）???? ?q ?n（在 上）??9（9-2） 如图 9-1 所示，求解域 Ω 的总边界? ? ?? ? ?q。图 9-1位势问题的域和边界10可以证明，对于泊松方程或拉普拉斯方 程（ ） ，一般加权余量表示式为f ?0?W ? ?? fWd ? ? ?? W (? ? )d ? ? ?? (q ? q )Wd ? ? ?? (? ? ? ) d? ?n2q?（9-3） 式中，W 是权函数，在边界法中可令 W， 称为相应于方程（9-1）的基本解，后面描述 它。 对式（9-3）左边第二项进行分部积分，W ? ?*?*11即? ?? ?? * ? ?? ? (? ? )d ? ? ? ?? ? d ? ? ?? ? *d ? ? ?? ?xk ?xk ? ?n ?* 2（9-4） 式中右边第一项的被积函数形式称爱因斯坦 求和约定，即?? ?? * ?? ?? * ?? ?? * ?? ?? * ? ? ? ?xk ?xk ?x1 ?x1 ?x2 ?x2 ?x3 ?x3把式（9-4）右端第一项再次分部积分，得12?? ?? * ?? * 2 * ??? ( )d ? ? ?? ? (? ? )d ? ? ?? ? d? ?xk ?xk ?n所以?? ?? * ?? ? (? ? )d ? ? ?? ? (? ? )d ? ? ?? (? ?n ? ? ?n )d ?* 2 * 2 * *把上式代入式（9-3）或去（ W ? ? ） ，考虑到 ? ? ?q ? ?? ，把左右两边界积分合并时，得*? ?? f ? *d ? ? ?? ? (? 2? * )d ? ? ? ?? q? *d ? ? ?? q? *d ?q??? * ?? * ? ?? ? d ? ? ?? ? d? ?n ?nq?13（9-5） 这就是求解泊松方程的积分方程。如果 f = 0，即为求解拉普拉斯方程的积分方程。 下面来导出相应该方程的基本解 。假如 有一单位势作用在物体上的 P 点，那么基本 解 就是满足下列方程 2 * ▽ φ （p,q）+δ（p-q）=0 （9-6）?*? * ( p, q)14的二点函数， 其中 p， 为无限域中任意两点， q 如图 9-2 所示。图 9-2 无限域中的 p 和 q 点 取 p 点为坐标原点，并把式（9-6）写成 极坐标表达式，即15d 2? * 1 d? * ? ? ?? (r ) dr 2 r dr（9-7） 式中， 是狄拉克δ 函数，它具有如下性? (r )质：?0 ? (r ) ? ? ?? r?0 r ?0（9-8） r 为 p 点到 q 点之间的距离。方程（9-6）或16（9-7）的解称为拉普拉斯方程的基本解。 在式（9-7）中，当 时，则为r?0d 2? * 1 d? * ? ?0 2 dr r dr（9-9） 它的解为 （9-10） 式中，C１和Ｃ2 为积分常数，可由 r = 0 时的 条件确定。由于? * ? C1 ? C2 ln r17?? ? ? d? ? ??? ? (r)d? ? ?12 *（9-11） （9-12）应用格林公式2 * ?? ? ? d ? ? ???? * d? ?n由图 9-2（b）所示，以 p 为圆心，以ε 为半 径作一小圆，将式（9-10

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）代入式（9-12）并 使 时取极限，于是得? ?0lim ?? ?2? 2 d ? ? lim ??? ?0 ? ?0?? * ? d ? ? lim (C1 ? C2 ln r )d ? ? ?0 ?r ?n?C ? ? lim ? 2 2?? ? ? 2? C2 ? ?0 ? ? ?18由式（9-11）得C2 ? ?1 2??* ? ?1 1 1 ln r ( p, q) ? ln 2? 2? r ( p, q)（9-13） 由于 是势函数，C1 可取作零，所以 （9-14）?*式（9-14）即为二维拉普拉斯问题的基本解。 同理可求得三维拉普拉斯问题的基本解 为?* ?1 4? r ( p, q)19（9-15） 现在根据式（9-5）来建立积分方程。由 于2 * ??? (? ? )d? ? ??? (?? (r)d? ? ??( p)于是得? ( p) ? ?? f ? *d ? ? ?? ? q*d ? ? ?? ? q*d ?q?? ?? q? *d ? ? ?? q? *d ?q?（9-16） 式中?? q? ?n；?? * q ? ?n*20考虑? ? ?q ? ??时，可写成? ( p) ? ?? q?*d ? ? ?? ?q*d ? ? ?? f ?*d ?式 （9-16） 就是域内任一点 p 的函数值与边界 的积分关系， 除了微分方程非齐次项 f 的积分 项外，其余都是边界积分表达式，故称积分 方程。21图 9-3用半球包围的边界点下面我们来建立边界解的积分表达式。 如果在式（9-16）中把内点 p 取到边界上 P 点（三维举例） ，如图 9-3 所示。这时，为了 避免奇性， 需要在 P 点附近稍加改变， 即以 P 点为中心，以 为半径作一小半球包含 P 点。 这样 P 点仍为内点。此时把边界分为两部分：?22一部分是鼓起的半球部分，用 表示；另一部 分即 。 假如点 P 取在 上 上也一样分析） （ ， 对于式（9-16）在边 上的积分分为两部分， 则 （9-17）?? ? ? ???q???q?? * ?? * ?? * ?? ? ?n d ? ? ?? ?? ? ?n d ? ? ?? ? ?n d ?q q??式（9-17）右端第二工面当 时取极限，并把 三维基本解 代入时，则对光滑表面有? ?0?*? ?? * ? 1 1 ? ? lim ??? ? d ? ? ? lim ?? ?? ? d ? ? ? ? ? ( P) 2 ? ?0 ? ?0 ? ?n 4?? 2 ? ? ?? ?23当 时，而式（9-17）右端第一项仍为 上积 分，即? ?0?q? ?? * ? ?? * lim ? ?? ?? ? d ? ? ? ?? ? d? ? ?0 ?n ?n ? ?q?q式（9-16）右端第一项在 上积分同样分 为两部分，即 和 。而?q ?q ?q ? ??lim ?? q? *d ? ? lim ?? q? ?0?? ?0?? ?? d ? ? lim ?q ? ? 0 ? ?0 ? 2 ? 4?? 1而??lim ?? ?? q? *d ? ? ?? q? *d ?? ?0q?q如果 P 点取在 上也可推出同样的结论。24所以，把 P 点取在边界上时，则式（9-16） 为1 ?? * ?? * f

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