函数的最大值和最小值_教案

浙江汽车职业技术学院 高等数学 课教案

教学 环节

教 一，课前准备。 二，点名。

学

内

容

设

计

意

图

一 、 组 织 教 学

1.问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到 求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问 题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值. 如图, 将一块边长为 60cm 的正方形铁皮，从四个角截去同 样的小正方形，然后把四边折起来，成为一个无盖的方盒， 方盒底边边长为多少时,方盒的容积最大?最大的容积是多 少?

以实例引入新课，有利 于学生感受到数学来源 于现实生活，培养学生 用数学的意识， .

提示： 此题关键是建立方盒底面边长与容积的函 通过 图象,增强直观性, 数关系，将实际问题转化为数学模型。 帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系.

二 、 创 设 情 境 ， 铺 垫 导 入实际问题中，将这个实 际问题转化为求函数在 闭区间上的最值问 题.这时学生经思考后 会发现，以前学习过的 知识不能解决这一问 题，从而激发起学生的 学习热情.

解：设方盒底边边长为 x ,体积为 V.箱高为： 60 x h

箱子容积为：V=x h

2

60x 2 x 3 2

( 0,60 )

2

2.引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在 这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方 法，来求某些函数的最值.

教学 环节

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1.我们知道，在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a, b]上必有最大值与最小值. 通过对已有相关知 识的回顾和深入分析， 自然地提出问题：闭区 间上的连续函数最大值 和最小值在何处取得？ 如何能

求得最大值和最 小值？以问题制造悬 念，引领着学生来到新 在闭区间[a,b]上连续函数 f(x)的最大值、最小值分别 知识的生成场景中. 是什么？分别在何处取得？ 为新知的发现奠定 y y 基础后，提出教学目标， 让学生带着问题走进课 堂，既明确了学习目的， 又激发起学生的求知热 aOb a x x Ob 情. 为让学生更好地进 行发现，教学中通过改 变区间位置，引导学生 观察同一函数在不同区 a x a O b O b x 间内图象上最大值最小 值取得的位置，形成感 3.以上分析，说明求函数 f(x)在闭区间[a,b]上最值的 性认识，进而上升到理 关键是什么？ 性的高度. 归纳： 设函数 f(x)在[a,b]上连续， 在(a,b)内可导， f (x) 求 在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求 f (x)在[a,b]内的极值； 学生在合作交流的 (2)将 f (x)的各极值与 f (a)、f (b)比较，其中最大的一 探究氛围中思考、质疑、 个是最大值，最小的一个是最小值. 倾听、表述，体验到成 在确定实际问题的最值问题时，如果所求得的 功的喜悦，学会学习、 驻点唯一， 则函数的最大值或最小值就在该驻点处 学会合作.y y

2.如图为连续函数 f(x)的图象：

二 、 合 作 学 习 ， 探 索 新 知

取得. 所以以上问题情境正确解法如下：

V ´=60x-3x² /2

3 x(40 x) 2

令 V ´=0,得 x=40, x=0(舍去) 在[0,60]内只有唯一的驻点 x=40 而 V (40)=16000cm3 当 x=40cm 时,容积最大为 16000cm3

在整个新知形成过 程中，教师的身份始终 是启发者、鼓励者和指 导者，以提高学生抽象 概括、分析归纳及语言 表述等基本的数学思维 能力.

教学 环节

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例 1.求函数 y=2x+cos2x 在区间[0, ]上的最大 值与值.分析：在(a,b)内解方程 f′(x)=0 , 但不需要判断是否 是极值点,更不需要判断是极大值还是极小值. 设函数 f(x)在[a,b]上连续， 在(a,b)内可导， f(x)在[a,b] 求 上的最大值与最小值的步骤可以改为： (1)求 f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函 数值； (2)将 f(x)的各导数值为零的点的函数值与 f(a)、f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 解： y′=2-2sin2x,则令 y′=0, 2-2sin2x=0,在[0, ] 即 上得 x= ,所以 f( )= 4 4 2 又因为 f(0)=1,f( )=2 +1, 所以：ymax =2 +1, ymin =1

“问起于疑，疑源于 思” ,数学最积极的成分 是问题，提出问题并解 决问题是数学教学的灵 魂.例 1 的目的是优化 导数法求最大、最小值 的解题过程，培养学生 的学以致用，提高学生 分析和解决问题的能 力.使得问题的解决更 简单明快，更易于操作， 更容易被学生所接受.

三 、 指 导

例 2 设

有电动势为 E,内阻为 r 的电源，向可 变外电阻 R 供电，要使 R 获得的功率最大，求 应 R 的值。用 ， 鼓 励 创 新全电路欧姆定律

.

I E r R解：由焦耳定理： P I 2 RI E R r

例题 2 的解决与本专业 的电子电工这门课相联 系，继续巩固用导数法 求闭区间上连续函数的 最值，同时培养学生用 数学的意识去解决其他 学科的相关问题

P R

E2 (R r) 2

( R 0) 根据求最值步骤得：

P' R

R r

E2

2

R E 2 R r

2

E

2

( R r ) 2 R 0 2E 2 R r

3

E2 2 RE 2 R r 2 ( R r )3

E 2 (r R) ( R r )3

0

所以得唯一驻点 R=r

当 R=r 时，可变外电阻获得最大功率

【教学设计说明】

本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数

知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的一个具体体现，整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以“是否存在？存在于哪里？怎么求？”为线索展开．

1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．

2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能动性．

3．为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．

4．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．