数学竞赛中的 绝对值问题

数学竞赛中的 绝对值问题

竞赛中含绝对值的问题

绝对值是初中代数中的一个基本概念，在竞赛中经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要注意知识的创新运用， 掌握好方法，顺利解决这些问题．

一、直接推理法

例1：已知a b,a

b 0，a b a b ab则等于（ ）（第八届“希望杯”初一试题）

（A）2a 2b ab.（B） ab.（C） 2a 2b ab.（D） 2a ab. 解：因为a

b 0，所以a,b同号.又因为a b，即a b 0，所以a,b必须同为负. . 所以a b a b ab a b a b ab 2a ab

答案为D.

说明: 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号.

二、巧用数轴法

例2:设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简b a（2005年上海市七年级数学竞赛预赛卷）

解: 由图可知，a 0,b 0,c 0，且c

所以 b a 0,a c 0,c b 0． a c c b. a b 0. ． 可得b a b a,a c a c ,c b b c

所以 原式= a b a c b c a b a c b c 2c.

说明:本题是通过数轴，运用数形结合的方法确定字母的大小顺序，从而达到去掉绝对值的目的.

三、零点分段法

数学竞赛中的 绝对值问题

例3:已知0 a 4，那么a 2 3 a的最大值等于 （ ）

（A）1.（B）5.（C）8.（D）3. （第十届“希望杯”初一试题） 解：(1)当0 a 2时， a 2 3 a 2 a 3 a 5 2a

a 2 3 a 2 a 3 a 5 2a，

3 a在这一段内，当a 0时a 2

(2)当2 a 3时，

(3)当3 a 4时， 取得最大值，最大值是5; a 2 3 a a 2 3 a 1; a 2 3 a a 2 3 a 2a 5，

3 a在这一段内，当a 4时a 2

综上可知，当0 a 4时，

答案为B. 取得最大值，最大值是3; 的最大值是5. a 2 3 a

说明:本题是求两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的字母的值，这几个字母的值就是用以确定如何将字母的取值范围分段的零点.

四、分类讨论法

例4:如果a,b,c,d为互不相等的有理数，且a c b c d b 1，那么a d等于（ ）（山东省第二届“灵通杯”七年级数学竞赛题）

（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.

解:已知b c，可设b c，由于a c b c，所以a c与b c必互为相反数(否则a b，不合题意)，即a c b c ,a b 2c.又因为b c，所以a c. 由于b c d b，所以b c与d b必相等(否则c d，不合题意)，即b c d b，从而得2b c d.因为b c，所以b d.

数学竞赛中的 绝对值问题

因此有d b c a. 所以a d a d a c c b b d 1 1 1 3.

3.答案为若设b c，同理可得a dC.

说明:本例的解法是采取把b，c分为b c和b c两种情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．本题还可以分为a b和a b两种情况进行讨论，同学们不妨试一试.