2.2.1椭圆的标准方程

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普通高中课程标准数学2-1(选修)

第二章 圆锥曲线与方程

2.1.1 椭圆的标准方程2015年1月6日

一、复习引入刘伯明 翟志刚 景海鹏

北京时间2008年9月25 日21时10分04秒神舟 七号发射升空 ，实现 多人多天出仓飞行， 标志着我国航天事业 又上了一个新台阶，

一、复习引入

神舟七号在进入 太空后，先以远 地点347公里、近 地点200公里的椭 圆轨道运行，后 经过变轨调整为 距地343公里的圆 形轨道。

一、复习引入

一、复习引入

星系中的椭圆 ——仙女座星系

一、复习引入

生 活 中 的 椭 圆

一、复习引入

生 活 中 的 椭 圆

二、提出问题

生 活 中 的 椭 圆

二、提出问题1.椭圆是怎么画出来的？ 2.椭圆的定义是什么？

3.椭圆的标准方程又是什么？

三、概念形成概念1.椭圆的画法 在画板上取两个定点F1和F2,把一条长度为定 试验：

值且大于|F1F2|的细绳的两端固定在F1, F2两点。用粉笔 (铅笔)把绳拉紧， 并使笔尖在画板

上慢慢移动一周，画出的图形就是一 个椭圆。

三、概念形成概念2.椭圆的定义及相关概念平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的 点的轨迹叫椭圆。M

即：|MF1|+|MF2|=定长(绳长)

F1

F2

定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

三、概念形成概念2.椭圆的标准方程的推导列 化 建 式 简 系 设 点

椭圆上的点满足︱PF1︱+︱PF2︱ 为定值，设为2a,则2a>2c y则： x + c + y + x - c 2 + y 2 = 2a2 2

P( x , y )

2 2 , 0 2 2 -2 ca , 0- O x -F F 2 c + 1 2 1 x + c + y = c y 2

x2

x + c + y 2 = 4a 2 - 4a a 2 - cx = a

x - c

2

+ y2 x - c + y2

设 P( x,y )是椭圆上任意一点

x - c

2

+ y2

设︱ FF =2c,则有Fx ,0) 、 Fy 0) 以 F 所在直线为 轴，线段 F 2 2 F, 1F 1(-c 2(c 1、 2︱ 1 2的垂直平分 x 2 2 2 设 a - cy =轴建立直角坐标系。 b b > 0 得 即： 2 + 2 = 1 a > b > 0 线为 a b

a2 - c2 x2 + a2 y2 = a2 a 2 - c2

三、概念形成概念2.椭圆的标准方程的推导当焦点在y轴上时：y

F1 (0, c) , F2 (0, c)

PF1 PF2 2a

F2 O

P ( x, y )X

x 2 ( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 2a

F1

a

x y 1 a > b > 0 2 22

2

b

思考：椭圆方程中a,b

,c之间的关系是什么？

三、概念形成概念2.椭圆的标准方程的推导y P( x,

yF2

y)

P( x, y)

F1

O2

F2

x

OF1

x

x y a > b > 0 1 a 2 b2

2

y 2 x2 2 1 a > b > 0 2 a b

如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？

key:哪个的分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

四、应用举例例1.填空：

x2 y 2 1 中，a= 3 ;b= 2 ; (1)在椭圆 9 4 x 焦点位于 轴上，焦点坐标是 ( 5, 0), ( 5, 0) 。 4 ; b= 7 ; (2)在椭圆 16 x2 7 y 2 112 中，a=焦点位于

y

轴上，焦点坐标是

(0, 3), (0,3) 。

x2 y2 (3)椭圆 1 上一点P到焦点F1的距离等于6,则点P 100 36 到另一个焦点F2的距离是_______ 14

(4)方程

x 3

2

y 2

x 3 y 2 10表示 椭圆 2 2 x y 1 25 162

;

概念辨析

x2 y2 1) + = 1答:在 x 轴上(-3,0)和(3,0) 25 16 x2 y2 2) + = 1 答:在 y 轴上(0,-5)和(0,5) 144 169 x2 y2 3) 2 + 2 = 1 答:在y 轴上(0,-1)和(0,1) m m +1

判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上， 并指明a2、b2,写出焦点坐标.