初中数学一元二次方程复习专题

一元二次方程专题复习

【课标要求】

1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0(a 0).

2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用.

3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题.

4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.

5. 会解一元二次方程应用题.

【知识回顾】

1．灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:ax2 bx c 0(a 0)

四种解法：直接开平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：

2 x1,x2 b 4ac≥0) 注意：（1）一定要注意a 0，填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进；

（2）掌握一元二次方程求根公式的推导;

（3）主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”.

2．根的判别式及应用( b 4ac)：

(1)一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的情况：

①当 0时，方程有两个不相等的实数根；

②当 0时，方程有两个相等的实数根；

③当 0时，方程无实数根.

(2)判定一元二次方程根的情况；

(3)确定字母的值或取值范围。

3．根与系数的关系(韦达定理)的应用：

韦达定理:如一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的两根为x1,x2，则x1 x2 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；

(2)求与方程的根有关的代数式的值；

(3)已知两根求作方程；

(4)已知两数的和与积，求这两个数；

(5)确定根的符号:(x1,x2是方程两根)；

（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根

2bc，x1 x2 aa

是Rt 的两直角边求斜边等情况.

22注意：（1）x1 x2 (x1 x2)2 2x1 x2

（2）(x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1 x2；

x1 x2

0 （3）①方程有两正根，则 x1 x2 0；

x x 0 12

0 ②方程有两负根，则 x1 x2 0 ；

x x 0 12

③方程有一正一负两根，则 0；

x1 x2 0

0 (x 1)(x 1) 0 12④方程一根大于1，另一根小于1，则

（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，

一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以x1,x2为根的一元二次方程为x2 (x1 x2)x x1 x2 0;求字母系

数的值时，需使二次项系数a 0，同时满足 ≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有

两根之和x1 x2， 两根之积x1 x2的代数式的形式，整体代入。

4．用配方法解一元二次方程的配方步骤：

例：用配方法解4x 6x 1 0

第一步，将二次项系数化为1：x2

第二步，移项： x2 231（两边同除以4） x 0，2431x 24

3313x ()2 ()2 2444第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：x2

第四步，完全平方：(x ) 3

425

16

第五步，直接开平方：x 333

,x2 ，即

:x1 444

5．一元二次方程的应用：解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程。 最后还要注意求出的未知数

的值，是否符合实际意义。

【中考考点】①利用一元二次方程的意义解决问题；

②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形（换元法）；

③考查配方法（主要结合函数的顶点式来研究）；

④一元二次方程的解法；

⑤一元二次方程根的近似值；

⑥建立一元二次方程模型解决问题；

⑦利用根的判别式求方程中字母系数的值和利用根与系数关系求代数式的值；

⑧与一元二次方程相关的探索或说理题；

⑨与其他知识结合，综合解决问题。

一元二次方程的定义与解法

【要点、考点聚焦】

1. 加深理解一元二次方程的有关概念及一元二次方程的一般形式ax2 bx c 0(a 0)；

2.熟练地应用不同的方法解方程；直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；并体会“降幂法”在解方程中

的含义.（其中配方法很重要）

【课前热身】

1. 当a ____________时，方程ax 3x 1 0是一元二次方程.

2. 已知x 1是方程x ax 2 0的一个根，则方程的另一根为__________.

3.一元二次方程x(x 1) x的解是_____________.

4. 若关于x的一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)，且a b c 0，则方程必有一根为____________.

5. 用配方法解方程x 4x 2 0,则下列配方正确的是( )

A.(x 2)2 2 B.(x 2)2 2 C.(x 2)2 2 D.(x 2)2 6 222

【典型例题解析】

1、关于x的一元二次方程(ax 1)(ax 2) x2 2x 6中，求a的取值范围.

2、已知：关于x的方程x 6x m 3m 5 0的一个根是 1，求方程的另一个根及m的值。

3、用配方法解方程:2x x 1 0

222

【考点训练】

1、关于x的一元二次方程(a 1)x2 x a2 1 0的一个根是0，则a的值为（ ）

A. 1 B. 1 C.1或 1 D.

2、解方程3(12x 1)2 4(12x 1)的最适当的方法（ ）

A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 因式分解法 D. 公式法

3、若a b c 0，则一元二次方程ax bx c 0有一根是（ ）

A. 2 B. 1 C. 0 D. －1

4、当k__________时，(k2 9)x2 (k 5)x 3 0不是关于x的一元二次方程.

5、已知方程3x2 2x 1 4，则代数式12x2 8x 3 _____________.

6、解下列方程：

（1）(x 1)2 4; (2)x 2x 3 0 (3)2t 7t 4 0（用配方法）

2221 2

一元二次方程根的判别式

【要点、考点聚焦】

1.一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的情况与 的关系；

2.

值或取值范围． 【课前热身】

1.若关于x的一元二次方程x 2x 1 0有实数根，则m的取值范围是( )

A.m 1 B. m 1且m 0 C.m≤1 D. m≤1且m 0

2. 一元二次方程x2 2x 1 0的根的情况为（ ）

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根

3.已知关于x的一元二次方程x2 4x m 1 0.请你为m选取一个合适的整数，当m ____________时，得到

的方程有两个不相等的实数根；

4.若关于x的方程x2 (2k 1)x k2

27 0有两个相等的实数根，求k的取值范围。 4

【典型考题】

1.已知关于x的方程(m 2)x2 2(m 1)x m 1 0，当m为何非负整数时：

(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.

2.已知a,b,c是三角形的三条边，求证：关于x的方程b2x2 (b2 c2 a2)x c2 0没有实数根.

【课时训练】

1、一元二次方程的根的情况为（ ）

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根

2、已知关于x的一元二次方程x2 m 2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）

A.m 1 B. m 2 C. m≥0 D.m 0

23、一元二次方程(1 k)x 2x 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________.

4、求证：关于x的方程x (2k 1)x k 1 0有两个不相等的实数根。

2

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