江西省师大附中等四校12-13学年高二下学期期末联考数学(理)试题

高二下学期期末联考数学（理）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集U R，集合A {x|y，集合B {y|y log3x,x A},则A (CUB)= （ ）

A． 1,2 B． 1,3 C. (2,9] D．(3,9] 2．设i为虚数单位，若复数

1 ai

为纯虚数，则实数a的值为（ ）

2 i

11

A. B. 2 C. D. 2 22

左视图

3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

911

A． B．5 C． D. 6

22

1

4．设数列{an}的前n项和为Sn，已知首项a1 ，且对任意正整数m,n

3

都有am n am an，若Sn k恒成立，则实数k的最小值为（ ） A.

俯视图

113

B. C. D. 3 322

5．已知 ABC为锐角三角形，若角 终边上一点P的坐标为（sinA cosB,cosA sinC），则

f( )=

sin( )cos( )

的值为 （ ） |cos ||sin |

A． 2 B．0 6． 给出下列四个命题：

C．2 D．与 的大小有关

x x

①已知函数f(x) 2 2,则y f(x 2)的图像关于直线x 2对称；

②平面内的动点P到点F( 2,3)和到直线l:2x y 1 0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线；

③若向量a,b满足a b 0,则a与b的夹角为钝角；

4存在x0 (1,2),使得(x02 3x0 2)ex0 3x0 4 0成立，其中正确命题的个数是（ ） ○

A．0 B．1 C．2 D．3

x2

y2 1上的任意一点，7．已知点P是曲线C:直线l:x 2与双曲线C的渐近线交于A,B两4

点，

若OP OA OB,( , R,O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）

A．

2

2

1122

B． 2 2 2 C． D． 2 2 2 22

8. 若平面直角坐标系中两点P与Q满足：○1P、Q分别在函数f(x),g(x)的图像上；○2P与（规定：（P,Q）与（Q,P）Q关于点（1,1）对称，则称点对（P,Q）是一个“相望点对”是同一个“相望点对”），函数y

x 2

与y 2sin x 1( 2 x 4)的图像中“相望点对”x 1

的个数是（ ）

A．8 B．6 C．4 D．2

x2x3x4x99x2x3x4x99

,g(x) 1 x 9. 已知函数f(x) 1 x ， 2349923499

设F x f(x 1) g(x 1)且函数F(x)的零点在区间[a,a 1]或

[b,b 1](a b,a,b Z)内，则a b的值为（ ）

A． 2 B．0 C．2 D．4 10.在函数y cosx(x [

,])的图像与x轴所围成的图形中，直线22

l

:x t(t , )从点A向右平行移动至B，l在移动过程中扫过平面图

22

形（图中阴影部分）的面积为S，则S关于t的函数S f(t)的图像可表示为（ ）

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第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．“求方程(

5x12x512

) () 1的解”有如下解题思路：设f(x) ()x ()x，因为f(x)在R13131313

上单调递减，且f(2) 1,所以原方程有唯一解为x 2.类比上述解题思路，不等式x6 (2x 3)3 3 2x x2的解集为12．随机输入整数x [1,12],执行如右图所示的程序框图， 则输出的x不小

于39的概率为 .

13．已知点P是面积为1的 ABC内一点（不含边界），若 PAB, PBC,

是 PCA的面积分别为x,y,z,则

y z1

的最小值为

. xy

z

14. 若数列{an}满足：a1 a2 a3 a4 a2n 1 a2n ，

则称数列{

an}为“正弦数列”，现将1,2,3,4,5这五个数排成一个“正弦数列”，所有排列种数记为a，则二项式6

的展开式中含x2项的系数为． 三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，按第一题评阅计分，本题共5分. 15.（1）（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并

取相等

的长度单位建立极坐标系，若直线l: cos(

4

) C1:

x 4cos

( 为参数)

y 4sin 3

相交于A,B两点，则线段AB长度为_________.

（2）（不等式选做题）若存在实数x，使不等式|2x 3| |2x 1| 3a a成立,则实数a的取值

2

范围为_________.

四、解答题:本大题共6小题，共75分

.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）

2

2

在 ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足

2CA

CB c (a b)．

（1

）求角C的大小； （2

）求

2

A4 sin( B)

的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小． 23

17.（本小题满分12分）

某中学为了增强学生对消防安全知识的了解，举行了一次消防知识竞赛，其中一道题是连线题，要求将4种不同的消防工具与它们的4种不同的用途一对一连线，规定：每连对一条得10分，连错一条得-5分，某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来. (1)求该参赛者恰好连对一条的概率；

(2)设X为该参赛者此题的得分，求X的分布列与数学期望.

18.（本小题满分12分）

如图所示，在边长为3的等边 ABC中，点D,E分别是边AB,AC上的点，且满足

ADCE1

,现将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置，使二面角A1 DE B成直二面角，DBEA2

连结A1B,AC1.

（1）求证：A1D 平面BCED；

（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD

所成的角为

C

D

E

A1

60？

若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由.

19.（本小题满分12分）

B

1a为整数；2对于任意的正整数n,当a为偶数时，a已知数列{an}具有性质：○○n 1 1n

an

;当an2

为奇数时，an 1

an 1

． 2

（1）若a1为偶数，且a1,a2,a3成等差数列，求a1的值；

（2）若a1为正整数，求证：当n 1 log2a1(n N )时，都有an 0．

20.（本小题满分13分）

定义：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以

为半径的圆O为

椭圆

x2y2x2y2

C:2 2 1 a b 0 的“准圆”.已知椭圆C:2 2 1的离心率为，直线

ababl:2x y 5 0与椭圆C的“准圆”相切.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作斜率存在且不为0的两条不同的直线

l1,l2， 使得l1，l2与椭圆都相切，试判断l1与l2是否垂直？并说明理由.

21.（本小题满分14分） 已知函数f x lnx，g x

a

a R ，设F x f x g x ,G x f x g x x

（1） 求函数F x 的单调区间；

（2） 若以函数y F(x) x (0,2) 图像上任一点P x0,y0 为切点的切线斜率为k

立，求实数a的取值范围；

（3） 当a 1时，对任意的x1

,x2 0,2 ，且x1 x2，已知存在x0 x1,x2 使得

1

恒成2

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