山东省2014届理科一轮试题选编19：等差与等比的综合问题

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编19：等差与等比的综合问题

一、选择题 1 ．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）已知等差数列 an 的公差d不为0,等比数列

bn 的公比q是小于1的正有理数.若a1 d,b1 d2,且a1 a2 a3是正整数,则q的值可以是

b1 b2 b3

A．

（ ）

222

111 C． D．- 722

2222

【答案】C【解析】由题意知a2 a1 d 2d,a3 a1 2d 3d,b2 b1q dq,b3 b1q dq,所

B．-222

a12 a22 a32d2 4d2 9d214a1 a2 a3

2 以,因为是正整数,所以令

b1 b2 b3b1 b2 b3d d2q d2q21 q q2

tt1422

,为正整数.所以,即q q 1 q q 1 0,解

得t t2

14141 q q

1

7

56

1 3

t,因为t为正整数,所以当t 8q

1 21

时

,q .符合题意,选C

22

2 ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知数列{an},{bn}满足

b

a1 b1 3,an 1 an n 1 3,n N ,若数列{cn}满足cn ban,则c2013 （ ）

bn

A．9

【答案】D

2012

B．27

2012

C．9

2013

D．27

2013

3 ．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第二次质量检测数学(理)试题）已知各项均不为零的数列 an ,定义

向量cn an,an 1 ,bn n,n 1 ,n N.下列命题中真命题是

A．若 n N 总有cn bn成立,则数列 an 是等比数列 B．若 n N 总有cn//bn成立,则数列 an 是等比数列 C．若 n N 总有cn bn成立,则数列 an 是等差数列 D．若 n N 总有cn//bn成立,则数列 an 是等差数列

（ ）

【答案】D【解析】由

cn//bn

an 1n 1an 1an

na (n 1)anan,所以an na1,故数

得,n 1,即n 1n,所以n

D．

列

an 是等差数列,选

二、填空题

4 ．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）已知等差数列 an 中,有

a11 a12 a20a1 a2 a30

成立.类似地,在正项等比数列

1030

_____________________成立.

【答案】由算术平均数类比几何平均数,容易得出11b12 b20 1b2 b30.

bn

中,有

三、解答题 5 ．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）已知数列{an}满足

a1 3,an 1 3an 3n(n N*),数列{bn}满足bn

an

. 3n

(1)证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和Sn.

【答案】解(1)证明:由bn

anan 1

,得, b n 1nn 133

∴bn 1 bn

an 1an1

3n 13n3

所以数列 bn 是等差数列,首项b1 1,公差为

1 3

1n 2

(n 1)

33n

(2)an 3bn (n 2) 3n 1

∴bn 1

Sn a1 a2 an 3 1 4 3 (n 2) 3n 1----① 3Sn 3 3 4 32 (n 2) 3n-------------------②

①-②得 2Sn 3 1 3 3 3

2

n 1

(n 2) 3n

2 1 3 32 3n 1 (n 2) 3n

3n 3 (n 2) 3n

2

3n 3(n 2)3n

Sn

42

6 ．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）已知数列{an}的前n项和

1

Sn an ()n 1 2(n N*),数列{bn}满足bn=2nan.

2

(I)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

n225

(Ⅱ)设cn log2,数列{}的前n项和为Tn,求满足Tn (n N*)的n的最大值.

ancncn 221

1n 11

【答案】解:(Ⅰ)在Sn an () 2中,令n=1,可得S1 an 1 2 a1,即a1 .

22

11

n 2时,Sn 1 an 1 ()n 2 2∴an Sn Sn 1 an an 1 ()n 1, 当

22

1

∴2an an 1 ()n 1,即2nan 2n 1an 1 1.∵bn 2nan,∴bn bn 1 1,即当n 2

2

时,bn bn 1 1. 又b1 2a1 1,∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.

n

于是bn 1 (n 1) 1 n 2nan,∴an n

2

(Ⅱ)∵cn log2∴

n

log22n n, an

2211

==-,

cncn+2n(n+2)nn+2

111111111111

∴Tn (1 ) ( ) ( ) ( ) ( )=1

2n 1n 232435n 1n 1nn 2

25111251113

由Tn ,得1 ,即,

212n 1n 221n 1n 242

11913

单调递减,∵f(4) ,f(5) ,

n 1n 22042

∴n的最大值为4 7 ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）在等差数列{an}中,a3 a4 a5 42,a8 30.

f(n)

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列 b

n 满足bn an 2

( R),则是否存在这样的实数 使得 bn 为等比数列;

2n 1,n为奇数

，Tn为数列 cn 的前n项和,求T2n. (3)数列 cn 满足cn 1

an 1,n为偶数 2

【答案】解:(1)因为{an}是一个等差数列,所以a3 a4 a5 3a4 42, a4 14.

设数列{an}的公差为d,则4d a8 a4 16,故d 4;故an a4 (n 4)d 4n 2

(2)bn an 2

9n .

2

假设存在这样的 使得 bn 为等比数列,则bn 1 bn bn 2,即(9整理可得 0. 即存在 0使得 bn 为等比数列

n 1

)2 (9n ) (9n 2 ),

2n 1,n为奇数

(3)∵cn ,

2n 3,n为偶数

242n 2

(2 2n 3) ∴T2n 1 (2 2 3) 2 (2 4 3) 2 2

1 22 24 22n 2 4(1 2 n) 3n

1 4nn(n 1)4n 1

4 3n 2n2 n 1 423

8 ．（山东省凤城高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）设等比数列{an}的前项和为Sn,已知

an 1 2Sn 2,(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)在an与an 1之间插入n个数,使这n 2数组成公差为dn的等差数列,求{

【答案】解:(Ⅰ)由an 1 2Sn 2(n N )

1

的前n项和Tn. dn

得an 2Sn 1 2(n N ,n 2), 两式相减得:an 1 an 2an, 即an 1 3an(n N ,n 2),

∵{an}是等比数列,所以a2 3a1 ; 又a2 2a1 2,则2a1 2 3a1,∴a1 2, ∴an 2 3

n 1

n 1

(Ⅱ)由(1)知an 2 3,则an 1 2 3

n

4 3n 1

∵an 1 an (n 1)dn , ∴dn

n 1

1111 ∵Tn

d1d2d3dn

234n 1

∴Tn ① 012n 1

4 34 34 34 31234nn 1

② Tn 123n 1n

34 34 34 34 34 3

221111n 1

①-②得Tn

34 304 314 324 334 3n 14 3n

1 1 1 n 1

1133n 152n 5

nn244 388 31

3

152n 5

∴Tn n 1

1616 3

9 ．（山东省莱芜市莱芜十七中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知数列{an}的前n项和Sn满足

Sn 2an 1,等差数列{bn}满足b1 a1,b4 S3.

(1)求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)设cn

11001

,数列{cn}的前n项和为Tn,问Tn>的最小正整数n是多少? bnbn 12012

an

2 an 1

【答案】解:(1)当n 1时,a1 S1 2a1 1,∴a1 1

当n 2时,an Sn Sn 1 (2an 1) (2an 1 1) 2an 2an 1, 即

∴数列{an}是以a1 1为首项,2为公比的等比数列,∴an 2n 1,Sn 2n 1 设{bn}的公差为d,b1 a1 1,b4 1 3d 7,∴d 2 ∴bn 1 (n 1) 2 2n 1

11111

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