1997-2011数学三考研真题及答案解析

考研数学

1997年全国硕士研究生入学统一考试

经济数学三试题详解及评析

一、 填空题

（1） 设y=f(lnx)e【答】 e【详解】

dy=d f(lnx)e

f(x)

f(x)

其中f可微，则dy=_________________.

1′ ′fx+fxfxdx lnln()()() x

f(x)

f(x)f(x) = dflnx e+flnxde ()()

1 fxfx

= f′(lnx)dx e()+f(lnx)e() f′(x)dx

x 1

= f′(x)dx ef(x)+f(lnx)ef(x) f′(x)dx x

（2） 若f(

x)=【答】

111+fxdx则f(x)dx=_______________. ,()2∫001+x

π

4 π

10

【详解】 设则

∫f(x)dx=A,

dx+A 2∫

001+x1

A=∫f(

x)dx=∫

1

Aππ

=arctanx+ arcsinx+=+A

02044

(故A=

π

4 π

.

t

（3） 差分方程yt+1 yt=t2的通解为yt=____________. 【答】 C+(t 2)2

t

【详解】 齐次差分方程yt+1 yt=0的通解为C.C为任意常数

设(at+b)2是差分方程yt+1 yt=t2的一个特解，则a=1,b= 2.因此

t

t

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yt=C+(t 2)2t为所求通解.

（4） 若二次型f(x1,x2,x3)=2x1+x2+x3+2x1x2+tx2x3是正定的，则t的取值范围

2

2

2

是_______. 【答】

<t<

【详解】 f正定的充分必要条件是f对应矩阵的各阶顺序主子式大于零，因此

2110

解得<t<

1t2

0t

>0,

21

（5） 设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N0,3

(

2

)，而X,L,X

1

9

和

Y1,L,Y9分别式来自总体X和Y

的简单随机样本，则统计量U=

__________分布，参数为_____________. 【答】 t,9 【详解】 令Xi′=

服从

XiY

,Yi′=i,i=1,2,L,9 33

则Xi′~N(0,1),Yi′~N(0,1),i=1,2,L,9

′~N(0,32), X′=X1′+L+X9

Y′=Y1′+L+Y9′~Χ2(9)

因此

′

′′′

== U=由于

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X′

~N(0,1),Y′~Χ2(9) 3

故U~t(9).

二、选择题

（1） 设f(x)=

∫

1 cosx

x5x6

sintdt,g(x)=+,则当x→0时，f(x)是g(x)的

56

2

(A)低阶无穷小 (B)高阶无穷小

(C)等阶无穷小 (D)同阶但不等价的无穷小

【 】

【答】 应选(B)

【详解】 利用洛必达法则，有

f(x)sinx sin(1 cos)sin(1 cos)

lim=lim=lim

x→0gxx→0x→0x4+x5x3+x4

22

(1 cos)=lim

x→0

2

x3+x4

x4

=lim34=0. x→0x+x

（2） 若f( x)=f(x)( ∞<x<+∞)，在( ∞,0)内f′(x)>0,且f′′(x)<0,则在

(0,+∞)内有

(A)f′(x)>0,f′′(x)<0 (B)f′(x)>0,f′′(x)>0 (C)f′(x)<0,f′′(x)>0 (D)f′(x)<0,f′′(x)>0

【 】

【答】 应选(C)

【详解】 由f( x)=f(x),得

f′(x)=f′(x),f′′( x)=f′(x)

可见当x∈(0,+∞)时， x∈( ∞,0)，且

f′(x)= f′( x)<0,f′′(x)=f′( x)<0

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所以应选(C).

（2） 设向量α1,α2,α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是

(A)α1+α2,α2+α3,α3 α1 (B)α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3 (C)α1+2α2,2α2+3α3,3α3+α1

(D)α1+α2+α3,2α1 3α2+22α3,3α1+5α2 5α3

【 】

【答】 应选(C) 【详解】

(A):(α1+α2) (α2+α3)+(α3 α1)=0

B:20αααα ααα+ +++=()(12)(23)(123)

可见(A)、(B)中向量组线性相关，(C)、(D)不能直接观察出，对于(C)，令

k1(α1+2α2)+k2(2α2+3α3)+k3(3α3+α1)=0

即

(k1+k3)α1+(2k1+2k2)α2+(3k2+3k3)α3=0

由于α1,α2,α3线性无关，故

k1+k3=0

2k1+2k2=0 3k+3k=0

3 2

101

因上述齐次线性方程组的系数行列式2

20=12≠0,，故方程组由惟一零解，即

033

k1=k2=k3=0，故(C)中向量组线性无关，应选(C).

（4） 设A,B为同阶可逆矩阵，则

(A)AB=BA

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(B)存在可逆矩阵P，使P 1AP=B (C)存在可逆矩阵C，使CTAC=B (D)存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B

【 】

【答】 应选(D).

【详解】 由题设A,B可逆，若取P=B,Q=A,则PAQ=BAA等价，可见(D).成立

矩阵乘法不满足交换律，故(A)不成立；任意两个同阶可逆矩阵，不一定是相似的或合同的，因此(B)、(C)均不成立.

（5） 设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P{X= 1}=P{Y= 1}=

1

1

=B,即A与B

1

, 2

1

P{X=1}=P{Y=1}=,则下列各式中成立的是

21

(A)P{X=Y}= (B)P{X=Y}=1

211

(C)P{X+Y=0}= (D)P{XY=1}=

44

【 】

【答】 应选(A). 【详解】

P{X=Y}=P{X=1,Y=1}+P{X= 1,Y= 1}

11111=×+×=, 22222

而

11

P{X+Y=0}=,P{XY=1}=.

24

1

x

三、在经济学中，称函数Q(x)=A δK

函数Q=AKL

δ1 x

x

+(1 δ)L 为固定替代弹性生产函数，而称

x

δ为Cobb－Douglas生产函数（简称C-D生产函数）

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试证明：当x→0时，固定替代弹性生产函数变为C-D同阶生产函数，即有

limQ(x)=Q

x→0

【详解】 lnQ(x)=lnA 而且

1 x x

δKδL+ ln 1() x

δK xlnK (1 δ)L xlnL

=lim x xx→0δK+1 δL

limln

x→0

x x

ln δK+(1 δ)L

x

= δlnK (1 δ)lnL= ln(AKδL1 δ)

所以

limlnQ(x)=lnA+ln(KδL1 δ)=ln(AKδL1 δ)

x→0

于是

limQ(x)=AKδL1 δ=Q.

x→0

四、设u=f(x,y,z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别是由方程exy y=0和

ex xz=0所确定，求

【详解】

du

. dx

du f fdy fdz=+ + , ( ) dx x ydx zdx

xy

由e y=0得e y+x

xy

dy dy

=0

dx dx

dyyexyy2

==

dx1 xexy1 xy

由e xz=0，得e

x

dzdz

z x=0 dxdx

dzzz=z= dxe xxz z

z

代入( )式得

du fy2 fz f=++. dx x1 xy yxz x z

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五、一商家销售某种商品的价格满足关系p=7 0.2x（万元/吨），x为销售量（单位：

吨），商品的成本函数是C=3x+1（万元）

（1） 若每销售一吨商品，政府要征税t（万元），求该商家获最大利润时的销售量; （2） t为何值时，政府税收总额最大.

【详解】 …… 此处隐藏：6525字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……