3东南大学高等数学习题课-数量值函数积分(二重,三重,第一型曲线,

东南大学,高等数学,习题课

东南大学

贺传富

二重积分： 二重积分：1.设 f ( x , y ) 连续 ，且 f ( x , y )= xy + ∫∫ f ( u,v )dudv , . 连续，D

所围成区域， 其中 D 是由 y = 0 , y= x 2 , x =1 所围成区域 ， =

求 f ( x, y)

东南大学,高等数学,习题课

东南大学

2.二次积分 ∫

0

π 2 d

贺传富

∫0

cos

f(ρcos ,ρsin )ρdρ

可以写成( 可以写成( D )(A) ∫ dy ∫ )0 1 y y 21 y 2

0

f(x,y)dx ;

(B) ∫ dy ∫ )0

1

0

f(x,y)dx ;

(C) ∫ dx ∫ f(x,y)dy ; )01

1

1

0

(D) ∫ dx ∫ )0

x x 2

0

f(x,y)dy 。

东南大学,高等数学,习题课

贺传富 东南大学 为连续函数， 3.设 f (u) 为连续函数， D ={( x , y ) x 3 ≤ y ≤1, 1≤ x } ,

I = ∫∫ x[ x + f ( x 2 + y 2 )sin y ]dxdy ,求 ID

y

2 3

1

D3 1 D4

D2 D1

y= x 3 =

o

x

东南大学,高等数学,习题课

东南大学

贺传富2 sin

x 3. ∫ dy ∫ . dx 1 y x 12

(cos1 cos 2)3 ( sin1) 20

4. ∫ dy ∫3 .0

1

1 y

y cos x 5 dx

1 3

。

5.交换积分次序

∫

1

0

dx ∫

x2

0

f ( x , y )dy + ∫ d x ∫1

2

2-x

0

f ( x , y )dy

东南大学,高等数学,习题课

东南大学

贺传富1 3x 0 0

6. I = ∫ dx ∫

f ( x , y )dy + ∫ dx ∫1

2

4 x 2

0

f ( x , y )dy

在极坐标系下的二次积分为

I=

。

东南大学,高等数学,习题课

东南大学

贺传富

7. 求 ∫∫ ( x + y + y )dσ2 2 D

其中D 其中D是由圆

和 ( x + 1)2 + y 2 = 1所围成的平 x + y =42 2

面区域(如图) 面区域(如图)。

y

x

东南大学,高等数学,习题课

东南大学

贺传富

8.计算 ∫∫ sinx 2 dσ ,D是由y=x,y=0,D

x=1所围成的区域9.计算 ∫∫ xsiny 3 dσ ,D是由y=x,y=1,D

1 x=0所围成的区域。( (1-cos1)) = 6

10.

求 ∫ dx ∫ e dy0 x

1

1

x y

东南大学,高等数学,习题课

东南大学

贺传富1 1 2 -x 4

11.计算 ∫ dy ∫ y e0 y

dx 1 2

1 (= (1-e-1)) 12

12.计算 ∫ dx ∫ (x 2+y 2) dy 20 x

1

x

13.计算 ∫ dx ∫ (x 2+y )dy0 0

a

x

1 2 2

东南大学,高等数学,习题课

东南大学15.化为极坐标系下的二次积分 化

贺传富

1∫ () 0 dx ∫x 2 f(x,y)dy

1

x

(2 ∫∫ f(x,y) σ,D由y=x , d )2 D

y= ,x= 围成 0 1

东南大学,高等数学,习题课

东南大学

贺传富

16.求 ∫∫ ( x 2 + y 2 + x 3 )dxdyD

其中D是区域 : 2 y ≤ x + y ≤ 4 是区域2 2

东南大学,高等数学,习题课

东南大学

贺传富

17.

求 ∫∫ max{xy,1}dxdyD

其中D是正方形区域 : 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2 是正方形区域18.求 ∫∫ r sin θ 1 r co s 2θ drdθ2 2 D

π 其中D = (r,θ ):0 ≤ r ≤ secθ ,0 ≤ θ ≤ 4

1 π ( - ) 3 16

东南大学,高等数学,习题课

东南大学

贺传富1 2

19.求 ∫∫ x- y ) dxdy, (D

32 2 D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2, ≤ 1} y 。( ) 1520.求2

∫∫x + y2 ≤4

(x 2 + 4y 2 + 9)dxdy, ( 轮 换 对 称 )

2 y2 21.设 D: x ≤ 1, ≤ 1; 求 ∫∫ ( y -1)e dxdy (=0) -x 1+e D

东南大学,高等数学,习题课

东南大学

贺传富

x, 0 ≤ x ≤ 1 22. 设D是全平面, f ( x ) = , 其他 0, 求 ∫∫ f ( y ) f ( x +y )dxdyD

sin x , 0 ≤ x ≤ 2 23. 设D是全平

面, f ( x ) = , 其他 0, 求 ∫∫ f ( x ) f ( y x )dxdyD 2

1-cos2) (答案：(1-cos2) )

东南大学,高等数学,习题课

东南大学

贺传富

24. 求高为H,底半径为R的均匀正圆柱体 对其一条母线的转动惯量。 3 ( ρπ HR 4 ,ρ 是密度) 2 25. 设有一由y = ln x , y = 0, x = e所围成

t 的均匀薄片(µ =1),求这薄片绕x = (t > e) 旋转的转动惯量。

东南大学,高等数学,习题课

东南大学

贺传富

26. 证明不等式 :2π ( 17 4) ≤2

∫∫x + y ≤12

dxdy 16 + sin 2 x + sin 2 y

≤

π4

27. 设D:x 2 + y 2 ≤ (x ≥ 0,y ≥ 0) f ( x )为D上 5 , 的正值连续函数求 ∫∫D

a f ( x )+b f ( y ) f ( x )+ f ( y )

dxdy

东南大学,高等数学,习题课

东南大学

贺传富

28.

f ( x )在[a , b]上连续, 且 ↑ .证明a b ∫∫ yf ( y )dxdy ≥ 2 D2 2

∫a f ( x )dx ,

b

其中 D是正方形区域 : a ≤ x ≤ b, a ≤ y ≤ b29.b

f ( x )在[a , b]上连续, 且 ↑ .证明b b

∫a f ( x )dx ∫a g( x )dx ≤ (b - a )∫a f ( x ) g( x )dx ,