5-4三大抽样分布

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第四节 一、 分布2

三大抽样分布

二、F分布

三、t分布四、一些重要结论

一、

2

分布

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1 定义: 设 X1 , , X n 相互独立, 都服从标准正 态分布N(0,1), 则称随机变量：

2 分布. 所服从的分布为自由度为 n 的 2 2 ~ (n) 记为其密度为:

X X 2 X n2 2 1 2

2

1 p( y ) n 2 y 2 (n 2)其中 ( x )

n y 1 2 2

e , ( y 0)

0

e t dt,

t x 1

x 0

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注: 已知 2 (1)就是Ga 1/ 2,1/ 2 分布. 由定义X 2 ~ 2 (1), in 1 1 n 1 2 2 2 即X i ~ Ga , .再由Ga分布的可加性知 X i ~Ga , . 2 2 2 2 i 1 由Ga 分布即可得密度表达式.

如图：n取不同值时

2

的分布

2. 分布的性质22 2

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(1).设X 1 ~ (n1 ), X 2 ~ (n2 ), 且X1,X2相互独立，

则X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 ).(可加性)2 2 2

(2)若 ~ (n), 分布的数学期望与方差, .E ( ) n,Var ( ) 2n.2 22

(3).若 X ~ (n), 则当n充分大时, 近似标准正态分布N(0,1). (由中心极限定理 ) (4). 设

X n 的分布 2n

X1 , , X n 相互独立, 都服从正态分布 2 1 n N ( , ), 则 2 2 ( X i )2 ~ 2 ( n) i 1

(5). 分布的分位点2

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对于给定的正数 , 1, 称满足条件 0

P 2

2 1

的点 12 (n)为 2 (n)分布的1- 分位数. 如图所示.

(n)

2 1 ( n )

p( y)dy 1

2 1

( n)

2 2 12 (n)可通过查表求，例 0.9 (25) 1-0.1 (25) 34.3816

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二、F 分布X 1 ~ 2 (m), X 2 ~ 2 (n), X1 与X2 相互独 1 定义: 设 立，则称随机变量 F X 1 m X2 n

服从自由度为m及 n 的F分布，m称为第一 自由度，n称为第二自由度，记作 F~F(m, n) .其密度为(过程见P271)m n 2 m m 2 nm 1 2

( ) p( y ) m n ( ) ( y) ( 2 ) ( 2 )

1 y m n

m n 2

, ( y 0)

Tianjin Normal University 数理统计0.8

0.8

0.6 0.4 0.2

0.4

m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 1511

2 3 4 5 6

2

3

4

5

6

0.8

0.8 0.6

0.4 0.4 0.2

m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 1011

2 2 43 5 4 6 3

5

6

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n (1).F分布的数学期望 E ( F ) (n>2) n 2 即它的数学期望并不依赖于第一自由度m. (2).F分布的分位数 对于给定的 , 1, 称满足条件 0

2. F分布的性质

的点F1 (m, n)为F (m, n)分布的1- 分位数. 如图所示.

p F F1 (m, n)

F1 ( m,n )

p( y)dy 1

F1 (m,

n)

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X2 n 1 (3):由定义可知 F X1 m

~F(n,m),因此

1 F (n, m) F1 (m, n)

F 分布的1- 分位点可查表求得. 例 F0.95 (9,12) F1 0.05 (9,12) 2.801 1 F0.05 (12,9) 0.357 F1 0.05 (9,12) 2.80

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三、t 分布

2 (n) 1、定义: 设X1~N(0,1) , X2~ X1 相互独立，则称变量 t

, 且X1与X2

X2 n

所服从的分布为自由度为 n的 t 分布. 记为 t ~ t ( n).t分布又称为学生分布.

其密度函数为(过程见P273): [( n 1) 2] y 2 n2 1 p( y ) (1 ) , n (n 2) n

y

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0.4 0.3 0.2 0.1

0.4

0.2n= 1 n=20

-3 -3

-2 -2

-1 -1

1 1 2 2

33

t 分布的图形(红色的是标准正态分布)t 分布的尾部比标准正态分布的尾部具有更大的概率;

峰值也低于标准正态分布 (峰低尾重)

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2. t分布的性质：(1). 具有自由度为n的t分布t ~ t (n), 其数学期 与方差为：E (t ) 0, Var (t ) n (n 2) (n 2), 而 自由度为1的t分布为标准Cauchy分布,此时无均值.

(2). t分布的密度函数关于t 0对称当n充分大时, . 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形， 再由 函数的性质有近似

lim p( y) n

1 y2 2 e . 2

即当n足够大时，t ~ N (0,1).

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(3). t分布的分位点

的点t1 (n)为t (n)分布的1- 分位数. 如图所示.

对于给定的 , 1, 称满足条件 0 t1 ( n ) P t t1 (n) p( y)dy 1

t分布的1- 分位数的性质： (n) t (n) t1t1 (n)

t分布的1- 分位点t1 (n)可查表求得，例t1 0.025 (15) t0.975 (15) 2.1314. t0.05 (10) t0.95 (10) 1.8125当n 45时，对于常用的 的值，可用正态近似t1 (n) u1

三大统计量的构造与抽样分布 设x1 , , xn与y1 , , yn是来自标准正态分布的两个相互独立的样本:统计量的构造

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抽样分布密度n y 1 1 p( y) n 2 y2 e 2 , 2 ( n 2)

期望

方差

( y 0) m m m n m n n ( 2 ) m 2 2 1 ( y12 yn 2 )/ m p( y ) m n ( n ) ( y ) 1 m y 2 n 2 2n2 (m n 2) n F 2 ( 2 ) ( 2 ) 2 m(n 2)2 (n 4) ( x1 xn )/ n ( y 0) (n>2) (n>4) n 1 n ( ) n 1 2 y1 y 0 2 t p( y) (1 ) 2 n 2 2 2 ( x1 xn )/ n n (n 2) n

x xn2 2 1

2

n

2n

( y )

(n>1) (n>2)

四、一些重要结论定理1 样本均值和样本方差分别为

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设x1,x2,…,xn是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本,

1 n 1 n x= xi , S 2 ( xi x ) 2

n i 1 n 1 i 1则有

(1) x与S 2 独立.(2) x ~ N ( ,

2n

)

(3)

(n 1) S 2

2

~ 2 (n 1)

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引理1

设X=(x1,x2,…,xn)T, Y=(y1,y2,…,yn)T,

令Y=AX,其中A=(aij)n ,则 EY=A EX, VarY=A VarX AT. 其中V ar X E[( X EX )( X EX )T ]2 引理2 若x1,x2,…,xn均服从正态分布为 N ( i , i ), i 1, 2,...n

且A=(aij)n

,令X=(x1,x2,…,xn)T ,则

y1 Y ... AX ~ N ( AEX , A V ar X AT ), y n 即正态分布在线性变换下具有不变性.

特别地,σ 1=…=σ n=σ 且 A为正交阵时,则Y~N(AEX,σ 2In).即正交 变换将独立同方差的正态变量变为独立同方差的正态变量.