2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案

2013 全国新课标卷2理科数学 第1页 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国新课标卷II)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2

＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．

A ．{0,1,2}

B ．{－1,0,1,2}

C ．{－1,0,2,3}

D ．{0,1,2,3}

2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．

A ．－1＋i

B ．－1－I

C ．1＋i

D ．1－i

3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．19-

4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )．

A ．α∥β且l ∥α

B ．α⊥β且l ⊥β

C ．α与β相交，且交线垂直于l

D ．α与β相交，且交线平行于l

5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．

A ．－4

B ．－3

C ．－2

D ．－1

6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S

＝( )．

A ．1111+23

10+++ B ．

1111+2!3!10!+++ C ．1111+23

11+++ D ．

1111+2!3!11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．

8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．

A ．c ＞b ＞a

B ．b ＞c ＞a

C ．a ＞c ＞b

D ．a ＞b ＞c

9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥??+≤??≥(-)?

若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则

a ＝( )．

A ．14

B ．1

2 C ．1 D ．2

2013 全国新课标卷2理科数学 第2页 10．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2

＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )．

A ．?x0∈R ，f(x0)＝0

B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形

C ．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减

D ．若x0是f(x)的极值点，则f ′(x0)＝0

11．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为

直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )．

A ．y2＝4x 或y2＝8x

B ．y2＝2x 或y2＝8x

C ．y2＝4x 或y2＝16x

D ．y2＝2x 或y2＝16x

12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )． A ．(0,1) B

．112??- ? ??

? C

．113?? ? ?? D ．11,32?????? 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．(2013课标全国Ⅱ，理13)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ? ＝__________.

14．(2013课标全国Ⅱ，理14)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114

，则n ＝__________. 15．(2013课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，若π1tan 42

θ?

?+= ???，则sin θ＋cos θ＝__________. 16．(2013课标全国Ⅱ，理16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013课标全国Ⅱ，理17)(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .

(1)求B ；

(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．

2013 全国新课标卷2理科数学 第3页 18．(2013课标全国Ⅱ，理18)(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB

＝2

AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；

(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．

19．(2013课标全国Ⅱ，理19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

(1)将T 表示为X 的函数；

(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T 的数学期望．

20．(2013课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：

22

22

=1

x y

a b

+(a＞b

＞0)

右焦点的直线0

x y

+=交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为

1

2

.

(1)求M的方程；

(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．21．(2013课标全国Ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.

2013 全国新课标卷2理科数学第4页

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(2013课标全国Ⅱ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE ＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．

(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；

(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

23．(2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知动点P，Q都在曲线C：

2cos,

2sin

x t

y t

=

?

?

=

?

(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，

M为PQ的中点．

(1)求M的轨迹的参数方程；

(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

2013 全国新课标卷2理科数学第5页

24．(2013课标全国Ⅱ，理24)(本小题满分10分) …… 此处隐藏：7916字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……