热力学统计物理 第4章_

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统计物理: 关于热现象的微观理论。研究对象: 大量微观粒子组成的宏观物质系统。 (微观粒子：如分子、原子、自由电子、光子等) 统计物理认为: 宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现。 宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。 经典统计: 粒子满足经典力学规律 (运动状态的经典描述) 量子统计: 粒子满足量子力学规律 (运动状态的量子描述)

本章内容: 经典描述; 量子描述; 三种分布函数及相 应的微观状态数。

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§ 粒子运动状态的经典描述遵守经典力学运动规律的粒子，称为经典粒子。 1. 具有“颗粒性”:有一定的质量、电荷等性质。

、 ,可 2. 轨道运动：满足牛顿定律. 给定初时刻的 r p 确定其运动轨迹 (确定性描述)。经典粒子可以被“跟踪”。3. 可以分辨：经典全同粒子可以分辨。 具有完全相同属性(质量、电荷、自旋等)的同类粒子 称为全同粒子。 4. 能量是连续的：按照经典力学的观点，在允许的能 量范围内，粒子的能量可取任何值。

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一 μ空间(相空间) :粒子位置和动量构成的空间 经典力学: 确定一个粒子的运动状态用 r 和 p。自由度 r =1(曲线上运动) : x 和 px 描述其状态； r = 3(3D空间中运动): x, y, z 和 px , py , pz 描述状态。若粒子有内部运动, 则 r 更大。如双原子分子 , φ, p , pφ

一般地，设粒子的自由度为 r , 其力学运动状态由粒子 的 r 个广义坐标 q1、q2、…qr 和相应的 r 个广义动量 p1、 p2、… pr 共 2r 个量的值确定。粒子能量ε: ε=ε( q1、q2、…qr ,p1、p2、…pr ) 。 总之，微观粒子运动状态的经典描述是采用粒子的坐 标和动量共同描述的方法。

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用单粒子的广义坐标和广义动量 q1, q2 , …qr, p1, p2 , …pr 为直角坐标构成2r 维空间, 称为粒子相空间 (即μ空间).例如：单原子分子 r =3 ,μ空间是6维。 刚性双原子分子 r = 5,μ空间是10维的。

粒子在某时刻的力学运动状态(q1、…pr )可用μ空间中 的一个点表示，称为粒子运动状态的代表点。 (1)代表点: 粒子的一个微观运动状态， (2)相轨道: 粒子状态的变化, 代表点在 μ空间中的移动。 (3)N 粒子系统, 需N个代表点描述系统的一个微观状态. (4)体积元：各轴上截取dq1 , dq2 , …, dqr , dp1 , dp2 , …, dpr , 则围成μ空间中的体积元：

d = dq1 dq2 … dqr · dp1 dp2 …dpr

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二

经典描述方法例子

pxxL

1 自由粒子不受外力作用的粒子(如理想气体 O 分子、金属自由电子等),其能量 p2 2m ① 1D自由粒子: 限制在长L范围内 (线状材料等); 互相正交的 x、px 轴构成2D的μ空间。 相轨道“——”等能面是一条直线.

② 3D自

由粒子：r = 3 , 设粒子处于体积 V 中。状态由 x、 y、z、px、py、pz 确定，μ空间是 6 维的。 粒子能量 ε= ( px2 + py2 + pz2 ) / 2m 动量子空间的半径 p p 2 p 2 p 2 2m x y z

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相空间的体积(动量小于p时)

4 dxdydz dp x dp y dpz V ( 2m )3 / 2 3 等能面(在动量子空间中)是半径为的 2m 球面。2 线性谐振子质量为 m 的粒子在力 f = -kx 作用下的一维简谐振动 (如双原子分子; 晶体中格点上的原子、离子等)。自由度为 1, 某时刻粒子状态为(x, px)。μ空间为二 维。若给定振子的能量ε, 运动轨迹由如下方程确定： 2 2 2 2 2 p p m x p 1 x x m 2 x 2 1 x x2 2 2 px 2m 2 2m 2 a b 两个半轴长度

a 2m

b

2 m 2

x

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即相空间中的等能面为椭圆。其面积为

S ab po

2

1 2 3

x

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§ 粒子运动状态的量子描述一 粒子微观运动状态的量子描述德布罗意于1924年提出，一切微观粒子都具有波粒 二象性(中子衍射)。 、p 与ω 、k 存在德布罗意关系

1波粒二象性

p k

k

2

h—普朗克常数

h 2

2 不确定关系(测不准原理)微观粒子的坐标和动量不可能同时具有确定的值。 用Δq 表示粒子坐标的不确定值, Δp 表示动量不确定值,

q p h

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3 波函数描写态 微观粒子的 r 和 p不能同时具有确定值——不是轨道运动。用 2 波函数描述状态： ( r , t ) 表示 t 时刻 r 处粒子出现的概率密度。 4状态的分立性量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。它由一 组量子数来表征，其数目等于粒子的自由度数。 状态所对应的力学量(如能量 等)不连续——状态量子化。电子轨道——电子出现概率最大的地方。

5 全同性原理全同粒子不可分辨，任意交换一对粒子不改变系统状态.

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二

量子描述例子电子自旋产生磁矩 e S S 为自旋角动量 m e z Sz 沿磁场方向 m

1 外场中的电子自旋

B

Z

S

1 即可描写其状态，它取两个分立值

而 S z (自旋方向取向量子化) 2 e e B e B B ms 所以 z 2m 2m m 即外场中的电子自旋状态只需要一个量子数 m s2

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2 自由粒子 (1)一维自由粒子： 自由运动的粒子被限制在边长为L的一维容器中。波函数 要满足一定的边界条件，采用周期性条件，即

L nx 由 k x 2 2 n x

nx 0, 1, 2,

L

量子数

nx 0, 1, 2,

正号表示正向传播

负号表示反向传播

2 nx 所以 p x k x

L

即动量只能取分立的值。

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2 2 p2 2 2 能量 x nx 2 2m mL

能量也是分立的。

表明：① ② ③ ④

用一个量子数就可以确定粒子的动量、能量。 粒子状态是分立的——能级。 各能级的简并性：nx=±1是不同状态 ——简并。 能级间隔大小与L、m成反比， 6

2 2 n n 1 n ( 2n 1) 2 mL

3 1

显然, 若L ∞时， 0,即能量此时是连续的。故 粒子在宏观尺度上量子效应不显著，可用经典方法描述。

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(2)三维自由粒子： 设自由粒子在边长为L的方盒子中运动。粒子的运动满 足薛定谔方程。由周期性边界条件得

2 2 2 p x k x nx p y ny pz nz L L L 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 n n n p x p y pz x y z 2 2m mL

量子态即由三个量子数来确定。状态是量子化的。 对于一定的能量 ε ,可包含多个量子态——能级简并。 简并性讨论 ：

2 2 2 2 2 2 n n n x y z 2 mL

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2 2 2 2 2 2 n n n x y z mL2 nx n y 0 nz 1 2 2 2 六状态能量同为 nx nz 0 n y 1 2 mL n y nz 0 n x 1经典粒子的动量和能量是连续的, 而在量子描述中, 动量 和能量是分立的, 这是局域在有限空间范围粒子的特性。

1 n 3 线性谐振子 2 用一个量子数 n 描述状态；

n 0, 1, 2,

各能级都是非简并的，即每个能级只有一个量子态； 能级间隔相同： ; 存在零点能，即n=0时能量非零。15

三、粒子的状态与 空间体积元的对应关系 空间中的体积元为: d = dq1 …… 此处隐藏：1663字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……