2011年陕西高考数学试题及答案(文科)

学科：数学

教学内容：直线和圆

【考点梳理】 一、考试内容

1．有向线段。两点间的距离。线段的定比分点。

2．直线的方程。直线的斜率。直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程。直线方程的一般式。

3．两条直线平行与垂直的条件。两条直线所成的角。两直线交点。点到直线的距离。 4．圆的标准方程和一般方程。

二、考试要求

1．理解有向线段的概念。掌握有向线段定比分点坐标公式，熟练运用两点间的距离公式和线段的中点坐标公式。

2．理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。熟练掌握直线方程的点斜式，掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线方程的一般式。能够根据条件求出直线的方程。

3．掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系。会求两条相交直线的夹角和交点。掌握点到直线的距离公式。

4．熟练掌握圆的标准方程和一般方程。能够根据条件求出圆的标准方程和一般方程。掌握直线和圆的位置关系的判定方法。

三、考点简析

1．有向线段。有向线段是解析几何的基本概念，可用有向线段的数量来刻划它，而在数轴上有向线段AB的数量AB=xB-xA。

2．两点间的距离公式。不论A(x1，y1)，B(x2，y2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=

(x1 x2)2 (y1 y2)2，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x2-x1|或

|AB|=|y2-y1|。

3．定比分点公式。定比分点公式是解决共线三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点，分点到终点的有向线段的数量之比。这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了。若以A为

x

起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是

y

x1 x2

1

。当P点为AB的中点时，

y1 y21

x1 x2 x 2

λ=1，此时中点公式是 。

y y1 y2 2

4．直线的倾斜角和斜率的关系

（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。

（2）斜率存在的直线，其斜率k与倾斜角α之间的关系是k=tanα。

5．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。

6．平面上直线与二元一次方程是一一对应的。

7．两条直线的夹角。当两直线的斜率k1，k2都存在且k1²k2≠ -1时，tanθ=

k2 k1

，

1 k1k2

当直线的斜率不存在时，可结合图形判断。另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别。

8．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断。

（1）斜率存在且不重合的两条直线l1∶y=k1x+b1， l2∶y=k2x+b2，有以下结论： ①l1∥l2 k1=k2

②l1⊥l2 k1²k2= -1

（2）对于直线l1∶A1x+B1y+C1=0， l2∶A2x+B2y+C2=0，当A1，A2，B1，B2都不为零时，有以下结论：

①l1∥l2

A1B1C=≠1 A2B2C2

②l1⊥l2 A1A2+B1B2 = 0 ③l1与l2相交

A1B≠1 A2B2A1B1C1

== A2B2C2

④l1与l2重合

9．点到直线的距离公式。

（1）已知一点P（x0，y0）及一条直线l：Ax+By+C=0，则点P到直线l的距离d=

|Ax0 By0 C|

A B

2

2

；

（2）两平行直线l1:Ax+By+C1=0， l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=

|C1 C2|A B

2

2

。

10．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围。

（1）圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，其中（a，b）是圆心坐标，r是圆的半径；

（2）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0），圆心坐标为（-

DE

，-），半22

D2 E2 4F

径为r=。

2

11．直线与圆的位置关系的判定方法。

（1）法一：直线：Ax+By+C=0；圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0。

△ 0 相交

Ax By C 0 判别式消元

一元二次方程 2 △ 0 相切 2

△ b2 4acx y Dx Ey F 0 △ 0 相离

（2）法二：直线:Ax+By+C=0；圆：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为

d r 相离

|Aa Bb C|

d r 相切 d=

A2 B2 d r 相交

12．两圆的位置关系的判定方法。

设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下： |O1O2|>r1+r2 两圆外离；

|O1O2|=r1+r2 两圆外切；

| r1-r2|<|O1O2|< r1+r2 两圆相交； | O1O2 |=| r1-r2| 两圆内切； 0<| O1O2|<| r1-r2| 两圆内含。

四、思想方法

1．公式法。求直线和圆的方程要正确运用公式解题。各种位置关系的判断要灵活使用各种结论。

2．数形结合思想。解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的。即：将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。

【例题解析】

例1 已知圆(x+4)2+y2=25的圆心为M1，圆(x-4)2+y2=1的圆心为M2，一动圆与这两个圆都外切。

（1）求动圆圆心P的轨迹方程；

（2）若过点M2的直线与（1）中所求轨迹有两个交点A、B，求|AM1|²|BM1|的取值范围。

解 （1）∵|PM1|-5=|PM2|-1，∴|PM1| - |PM2|=4

∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支。 c=4，a=2，b2=12，

x2y2

故所求轨迹方程为－=1（x≥2）。

412

（2）当过M2的直线倾斜角不等于

时，设其斜率为k， 2

直线方程为 y=k(x-4)

与双曲线 3x2-y2-12=0联立，消去y化简得 (3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0

又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0

8k2

0 x1 x2 2

k 3

16k2 12

0由 x1x2 2

k 3

△ 64k4 16(3 k2)(4k2 3) 0

解得 k2>3。

由双曲线左准线方程 x=-1且e=2，有 |AM1|²|BM1|=e|x1+1|²e|x2+1|

=4[x1x2+(x1+x2)+1]

16k2 128k2=4(+2+1) 2

k 3k 3

=100+

336

k2 3

∵k2-3>0，∴|AM1|³|BM1|>100 又当直线倾斜角等于

时，A(4，y1)，B(4，y2)， 2

|AM1|=|BM1|=e(4+1)=10 |AM1|²|BM1|=100

故 |AM1|²|BM1|≥100。

例2 如图9-1，已知圆C：（x+4）2+y2=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0)。

（1）若点D坐标为（0，3），求∠APB的正切值； （2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；

（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由。

解 （1）∵|CD|=

（O为原点）且圆D与圆C外切， CO OD=5，

2

2

∴圆D半径r=5-2=3，

此时，A、B坐标分别为（0，0）、（0，6）， ∴PA在x轴上，且BP的斜率k=2， ∴tan∠APB=2。

（2）如图9-2， …… 此处隐藏：7156字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……