概率论与数理统计公式大全2

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随机变量的数字特征

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切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率

的一种估计，它在理论上有重要意义。 期望的 (1) ( 2) 性质 (2) (3) (4) E(C)=C E(CX)=CE(X) E(X+Y)=E(X)+E(Y), E(XY)=E(X) E(Y),充分条件：X 和 Y 独立； 充要条件：X 和 Y 不相关。 D(C)=0;E(C)=C D(aX)=a2D(X); E(aX)=aE(X) E(aX+b)=aE(X)+b

方差的 (1) ( 3) 性质 (2) (3) (4) (5)

D(aX+b)= a2D(X); D(X)=E(X2)-E2(X)

D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件：X 和 Y 独立； 充要条件：X 和 Y 不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。

而 E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。 期望 ( 4) 常见分 布的期望和 0-1 分布 p 方差 二项分布 np 泊松分布 几何分布 超几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布 n t 分布 0 ( 5) 二维随 期望 机变量的数

方差

2n (n>2)

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字特征

函数的期望

=

=

方差

协方差

对于随机变量 X 与 Y,称它们的二阶混合中心矩 为 X 与 Y 的 协方差或相关矩，记为 ，即

相关系数

与记号 相对应，X 与 Y 的方差 D(X)与 D(Y)也可分别记为 与 。 对于随机变量 X 与 Y,如果 D(X)>0, D(Y)>0,则称

为 X 与 Y 的相关系数，记作 (有时可简记为 )。 | |≤1,当| |=1 时，称 X 与 Y 完全相关： 完全相关 而当 时，称 X 与 Y 不相关。 以下五个命题是等价的： ① ; ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 混合矩

对于随机变量 X 与 Y,如果有 存在，则称之为 X 与 Y 的 k+l 阶混合原点矩，记为；k+l 阶混合中心矩记为：

协方差 (i) ( 6) 的性质

cov (X, Y)=cov (Y, X);

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第五章 大数定律和中心极限定理

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第六章 样本及抽样分布

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第七章 参数估计

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个样本值，其样本的 k 阶原点矩为

这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的 样本矩”的原则建立方程，即有

由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数 即为参数( )的 矩估计量。

极大似 然估计

若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。 当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中 为未 知参数。又设 为总体的一个样本，称

为样本的似然函数，简记为 Ln. 当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称

为样本的似然函数。 若似然函数 在处取到最大值，则称 分别为 的最大似然 估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。

(2)估 无偏性 计量的 评选标 准 有效性 一致性

若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估 计。 设 为未知参数 的估计量。若 E ( )= ,则称 为 的无偏估 计量。 E( )=E(X), E(S2)=D(X) 设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。 设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有

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则称 为 的一致估计量(或相合估计量)。

若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致估计。 只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函 数都是相应总体的一致估计量。 设总体 X 含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发， 找出两个统计量 与 ，使得区间 以 的概率包含这个待估参 数 ，即

(3)区 置信区 间估计 间和置 信度

单正态 总体的 期望和 方差的 区间估 计

那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度(或置信水 平)。 设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的置信 区间 。具体步骤如下： (i)选择样本函数； (ii)由置信度 ，查表找分位数； (iii)导出置信区间 。 已知方差，估计均值 (i)选择样本函数

(ii) 查表找分位数

(iii)导出置信区间

未知方差，估计均值

(i)选择样本函数

(ii)查表找分位数

(iii)导出置信区间

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第八章 假设检验

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单正态总体均值和方差的假设检验