06函数的单调性与最值

06函数的单调性与最值

函数的单调性与最值

06函数的单调性与最值

知识网络定义 函数的概念 三要素 表示 定义域 对应法则 值域 单调性 对称性 函数的 基本性质 奇偶性 周期性 最值 函数常见的 几种变换 基本初等 函数

列表法 解析法 图象法 观察法、判别式法、分离常数法、 单调性法、最值法、重要不等式、 三角法、图象法、线性规划等

1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性. 2.复合函数单调性：同增异减. 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x). 2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立. f (x+T)=f (x);周期为T的奇函数有： f (T)=f (T/2)=f (0)=0. 二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、 线性规划、导数、利用单调性、数形结合等. 平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.

函 数

正(反)比例函数; 一次(二次)函数; 幂、指、对函数;单调性：同增异减 定义、图象、 性质和应用

复合函数抽象函数 函数与方程 函数的应用 常见函数模型

赋值法函数零点、二分法、一元二次方程根的分布

幂、指、对函数模型；分段函数；对勾函数模型

06函数的单调性与最值

要点梳理1.函数的单调性

忆一忆知识要点

(1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为A,区间M A . 如果取区间M中的任意两个自变量x1, x2 定 当x1<x2时，都有 当x1<x2时, 都 有 义 f(x1) < f(x2) ____________ ,那么函数 __________ , 那么函数f(x) f(x1) > f(x2) f(x)在区间M上是增函数 在区间M上是减函数 图 象 描 上升的 下降的 述 自左向右看图象是______ 自左向右看图象是_____

06函数的单调性与最值

要点梳理

忆一忆知识要点

(2)单调区间的定义 增函数 减函数 若函数f(x)在区间M上是_______或________,则称函 数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做 y 区间M =f(x)的单调区间.

2.函数的最值前 提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (3)对于任意x∈I,都有 f(x)≥M ; (4)存在x0∈I, 使得 f(x0)=M .

(1)对于任意x∈I,都有 f(x)≤M ; 条 件 (2)存在x0∈I, 使得 f(x0)=M . 结 M为最大值 论

M为最小值

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题 型一

函数单调性的判断及应用

【例 1】已知函数 f(x)= x2+1-ax,其中 a>0. (1)若 2f(1)=f(-1),求 a 的值； (2)证明：当 a≥1 时，函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单调 减函数； (3)若函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数，求 a 的取值 范围.

(1)解:由 2f(1)=f(-1),可得 2-2a= 2+a, 2 2-2a= 2+a, (1)解: 由 2f(1)=f(-1),可得 2 2 2 得 a= . 得 a= . 3 3

06函数的单调性与最值

(2)证明:任取 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2, 1 2减函数；

(2)证明：当 a≥1 时，函数 f(x)在区间[0,+∞)上为单调 (2)证明:任取 x ,x ∈[0,+∞)

,且

2 2 2 2 f(x x2+1+ax2 f(x1)-f(x x ,x 2∈[0,+∞),且 x )= 2 2x x ∈[0,+∞),且 <x , (2)证明:任取xxx11,x22+1-ax1-1)-f(x2x1<x,1+1-ax1- x2+ (2)证明:任取2)=,x21∈[0,+∞),且 xx11<x,, 1 (2)证明:任取 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数，求 a 的取值 (2)证明:任取 ∈[0,+∞),且 1 2 (2)证明:任取 x,x2∈[0,+∞),且 x1<x2, 2 (2)证明:任取 1 1,x2 ∈[0,+∞),且 1<x2 2 (3)若函数 2 22 = 2x22+1- x2+1-a(x1-x2) x2+1+ax 22 = )-f(x2)= xx22+1-ax11- )22+1+ax x1+1- +1-a(x f(x11)-f(x)= xx+1-ax --x 2+1+ax 2 222 f(x1)-f(x2 222)= 2 xx11+1-ax1-x2 x122+1+ax x f(x11)-f(x )= 221+1-ax - x22 2 2 2 f(x )-f(x )= 1 1 +1-ax1- 22 )-f(x 1 f(x 1 范围. f(x +1+ax2 11 x1-x2 x1-x2 222 22 2 = xx122+1- xxx2+1-a(x1-x2)2))2 = xx11+1- 2x22+1-a(x1-x 2 2 x1+1- 2+1-a(x 1-x = 112+1- 2 2+1-a(x11-x +1-a(x = = x22+1- x+1-a(x1-x2)222)x1+1+ x2+1-a(x1-x2) 2 = = x +1+ 22 x +1-a(x -x 22 1 x22 2 22 2 2x-x2 2 -x 1 1-x xx2-x22 xx11-x22 1-x2 x1+x2 = 2 = -a(x -x = -a(x = x2222 1 -a(x 1=(x 22 x-a(x1-x2) 2)) = 2x+1+ xx2+1-a(x11-x22)2)-x ) -a(x 1-x 1+x2 1 -x2 x-x2) x+1 1 1 +1+ 2 +1 xx111+1+ x2x22+1 +1+ 222+1 -a . 2 x2+1+ x2+1-a . x11+1+ 22+1 +1+ =(x1 2 1 2 x+x x1+1+ x 2x2+1 1 2 xx11+x 2 1 +x xx+x2 22 ( x1 x 2 )( a ). 1x1+x2 x1+x 2 2 2∵0≤x1< x1+1,0<x2< x2+1, -a ... -a -a . 2 22 2 2 . =(x -x)) +1,0<x 2 -a =(x -x =(x -x =(x 11-x222) 2x2 1 22< -a =(x 11-x 2 xxx+1+ x 22+11 =(x11-x1<))) x11x212+1+ x2xx22+12-a ∵0≤x 2 2 11 +1+ xx+1 22 x+1+ 2x2+1 +1, x1+x2 +1+ +1 x 11 22+1 1+1+ x122 2 2 2+x ∵0≤x111< xxx11+1,0<x22< x2x22+1, 2+1+ x2+1<1. x2+1,0<x2<1. 2x22+1, < xx22+1, ∵0≤x +1,0<x ∵0≤x< 2 x1+1,0<x 2 x2+1, ∵0≤x11<< x+1,0<x2<<< ∴0< x1 ∴0< ∵0≤x < 1 2+1,0<x 1 2 2 +1, 2 ∵0≤x1x<+1+ x2+1 2< +1, 1 2 1xx+x2 2 2 x111+x2 1x+x22 1 +x ∴0< <1. ∴0< 222 x1+x22 22 <1. 又∵a≥1,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴0< <1. ∴0< 22 <1. ∴0< <1. 22 ∴0< xxx11+1+ xxx2+1 <1. x +1+ 12+1 又∵a≥1,∴f(x+1 1+1+ x21+1+ 2x2)-f(x2)>0, 1 +1+ 2 +1 x1 x2+1 ∴f(x)在[0,+∞)上单调递减.

又∵a≥1,∴f(x )-f(x )>0,

又∵a≥1,∴f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x)在[0,+∞)上单调递减. 又∵a≥1,∴f(x )-f(x )>0, 又∵a≥1,∴f(x )-f(x )>0, 又∵a≥1,∴f(x111)-f(x

222)>0, 又∵a≥1,∴f(x )-f(x2)>0,

06函数的单调性与最值

(3)若函数 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数，求 a 的取值 范围.

x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1 x2 )(f(x ∵f(x)单调递增，所以 f(x1)-f(x2)<0.a), ∵f(x)单调递增，所以f(x 12)-f(x2)<0. ∵f(x)单调递增，所 2 ∵f(x)单调递增，所以 1)-f(x )<0. 1 1)-f(x x2 ∵f(x)单调递增，所以 x1 1 2 2)<0. ∵f(x)单调递增，所以 f(xf(x1)-f(x2)<0. 又 1-x<0, 又 x1-x22<0, <0, 又 x-x2<0, -x22<0, ∵f(x)单调递增，所以 f(x1)-f(x2)<0. 又 x1-x2<0, 1 又 1x1-x 又x x1+x2 1 x+x+x2 -a>0 恒成立. x1+x x1 1+x2 那么必须2<0, xx+x2 2 -a>0 恒成立. 1 2 又 x1-x 2 2 那么必须 x2+1+ x +1 -a>0 恒成立. -a>0 恒成立. 那么必须 那么必须 2 +1+ x222 2-a>0 恒成立. 那么必须 2 那么必须 x 12 x x x2 x 1 +1+ 2 x2+1 x1+1+1+x+12+1 x1+1+ x11+1+ 2+1 2 那么必须 2 2 22≥x1+1,2x222 22+1, -a>0 恒成立. ∵1≤x1<x2 2x12 2 2 222 2 2 2 22>x2+1, ∵1≤x<x<x2 2x≥x+1,2x>x>x>x2+1,∵1≤x <x 2x2≥x <x 2x+1+ 1+1,2x22+1, 2x≥x≥x1+1,2x22 2+1, ≥x+1,2x2 2>x 2 2 2 ∵1≤x1 2 2 x11 1 ∵1≤x1 11<x2 2x1 1 1 1 x2+1 ∵1≤x 1 2 1 2 2 ∴ 2x 1≥ 2x12+1, 2x 2> x22+1. 2x …… 此处隐藏：9566字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……