第二章 杆件结构的有限元法

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有限元理论与应用

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第一篇 有限元法

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第一篇 有限元法

第二章 杆件结构的有限元法

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当结构长度尺寸比两个截面方向的尺 寸大得多时，这类结构称为杆件。工程中 常见得轴、支柱、螺栓、加强肋以及各类 型钢等都属于杆件。

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杆件结构可分为珩杆和梁两种。和其他结构采用铰连接的杆称为珩杆。珩杆的连接处可以自由转动， 因此这类结构只承受拉压作用，内部应力为拉压应力。影响应力的 几何因素主要是截面面积，与截面形状无关。 和其他结构采用固定连接的杆称为梁。链的连接处不能自由转动， 因此梁不仅能够承受拉压，而且能承受弯曲和扭转作用。这类杆件 的内部应力状态比较复杂，应力大小和分布不仅与截面大小有关， 而且与截面形状和方位有很大关系。 建立有限元模型时，这两类杆件结构可用相应的杆单元和梁单元离散。

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由杆件组成的机构体系称为杆系，如起重机、桥梁等。 由珩杆组成的杆系称为珩架，由梁组成的杆系称为刚架。

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2-1 引 言工程中最简单的结构可以认为是铰支的杆件。它的性质完全类似于弹簧。 弹簧系统力F与弹簧伸长量 系由胡克定律有

δ (位移)之间关

F = kδ

(4—1)

式中k为弹簧的刚度，是弹簧的固有参数。它对应于 力-位移图中F- δ 关系直线的斜率。 当k和力F已知时，可由下式求出弹簧伸长量 δ

1 δ= F k

弹簧力-位移间关系

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当处理比较复杂的铰支杆系统时，要确定系统在力P的作用下，节点B、 C、D和E处的变形。以便计算各杆件的内应力及各杆所受的轴向力，可 假设整个杆件系统也具有像式(4—1)中k值一样的刚度，这样在力P的作 用下各点的位移就可以用类似式(4—1)的公式计算了，不过.这时的系统 刚度应采用一个矩阵来表示，即 [K ] ,同理，各点的位移也应采用一个 矩阵来表示，即 {δ } ,再加上矩阵 {F } ,就构成了

{F } = [K ]{δ }

[K ]

称为对应于施加存系统上各节点力的刚度矩阵。

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问题： 1、复杂结构其刚度矩阵是多少阶的？ 2、如何求出？ 3、为什么着重讨论系统的刚度矩阵？ 系统的整体刚度矩阵-求出所受外力作 用下各杆件节点处的位移-计算各杆件的 受力和应力

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2-2 弹簧系统的刚度矩阵一、单个弹簧的刚度矩阵u1,F1 k u2,F2

弹簧的作用力向量为 F1 F2 位移向量为

u1 u2 F1 k11 = F2 k 21 k12 u1 k 22 u2

从而这个弹簧的刚度矩阵是2x 2阶的。

为求出它们，将图2—4所示弹簧系统看作两个简单的系统，然后合成。

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1)只有节点1可以变形,点2固定

F1a = ku1由力的平衡有

F1a u1 A A‘ F1b u1=0 F1 u1 A A‘ k (b) k (c) k (a) u2 B B‘ u2 F2 B B‘ F2a u2=0 F2b

F1a + F2 a = 0 F2 a = F1a = ku12)只有节点2可以变形,点1固定

F 2 b = ku

2

= F1 b

3)根据线弹性系统的叠加原理，叠加1) 2)两种情况，就得到与原始问题一样 的结构，如图(c),叠加结果为： 作用于节点1上的合力 作用于节点2上的合力

F1 = F1a + F1b F2 = F2 a + F2b F1 k = F2 k刚度矩阵

k k u1 e u (2-5) K = k k 2

[ ]

k k (2-6)

对成、奇异矩阵

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二、组合弹簧的刚度矩阵u2,F2 u1,F1 1 u1,F1a ka F2au2=0

ka 2 kb

kb 3 F3au3=0

u3,F31) 只允许节点1有位移u1,力F1a与位移u1之间的关系

3

(a) F1bu1=0

F1a = k a u1 考虑弹簧1-2,由静力平衡条件有 F2 a = F1a = k a u1 由于u1= u2=0,没有力作用于节点3,因此， F3a = 0

ka

u2,F2b

kbu3=0

F3b

2) 只允许节点2有位移u2,这时由于位移的连续性，每个 2 u 弹簧在节点2要求有相同的位移，即，弹簧1-2的伸长量与 弹簧2-3的缩短量相等。对弹簧1-2 有拉力kau2,对弹簧

(b) F1cu1=0

2-3 有压力kbu2 F2b = (k a + kb )u2 分别对两弹簧求静力平衡，有 F1b = k a u 2 , F3b = kbu2

ka

F2cu2=0

kb

u3,F3c

3) 只允许节点3有位移u3,类似于情况1),有

F3c = kb u3 , F2 c = F3c = kbu3F1c = 0

由于节点1、2无位移，有

(c)

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组合弹簧的刚度矩阵4) 合成。对整个系统来说有3个节点，每个节点只有一个 方向的位移。因此方程式应用如下形式： F1 k11 k12 F2 = k 21 k 22 F k 3 31 k32 k13 u1 k 23 u 2 k33 u3

利用线弹性系统的叠加原理，找出3×3阶刚度矩阵各元素 的表达式

节点1处的合力 节点2处的合力 节点3处的合力

F1 = k a u1 F2 = k a u1 F3 = 0

k a u2 k a u 2 + kb u 2 kb u 2 k b u3

0 k b u3

ka [K ] = ka 0

ka k a + kb kb

0 kb kb

对成、奇异矩阵

(2-8)

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用同样的方法可以求解具有更多个弹簧 的串连系统，推导过程乏味。 知道单个弹簧的刚度矩阵--直接叠加 出多个串联系统的总刚度矩阵。

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知道单个弹簧单元的刚度矩阵， 知道单个弹簧单元的刚度矩阵，直接叠加出总刚度矩阵对整个系统来说有3个节点，将上述方程扩大成3阶方程：

F1 k a = F2 k a

k a u1 k a u2

F2 kb = F3 kb

kb u2 kb u3

整个系统有3个节点(位移),将上述方程扩大成3阶方程，

F1 k a F2 = k a F 0 3

0 u1 k a 0 u2 0 0 u3 0 u1 F1 0 0 F2 = 0 kb kb u2 F 0 k kb u3 b 3

ka

矩阵扩大办法 单元数量增多时，相应扩大后的矩阵 就相当大，扩大后的非零元素在矩阵 的什么位置，概念上就不很清楚了。

按矩阵相加原理将两式叠加，

F1 k a F2 = k a F 0 3

ka k a + kb kb

0 u1 kb u2 kb u3

(2-9)