射影定理与比例中项

射影定理与比例中项

射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上

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射影与斜边的比例中项．即CD=AD·BD；AC=AD·AB；BC=BD·AB 比例中项：如果 a:b=b:c，或b2=ac，那么，b就叫做a、c

1、已知直角三角形ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，DE AB交AB于E，且AD=3.2cm，则DE= （ ）

A、1.24cm B、1.26cm C、1.28cm D、1.3cm

2、如图1-1，在RtABC中，CD是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）线段的长，就可以求其他线段的长 A、1 B、2 C、3 D、4

AC3BD

3、在RtABC中， BAC 90，AD BC于点D，若AB4，则CD（ ）

34169A、4 B、3 C、9 D、16

1

DE AC, ADE CDE

34、如图1-2，在矩形ABCD中，，则 EDB （ ）

A、22.5 B、

30 C、

45 D、

60

【填空题】

5、ABC中， A 90，AD BC于点D，AD=6，BD=12，则CD=____，AC= ____，

AB2:AC2= ___________。

CD AB，6、如图2-1，在Rt△ABC中， ACB 90，AC=6，AD=3.6，则BC=_____．

7、如图已知CD是△ABC的高，DE⊥CA, DF⊥CB，求证：△CEF∽△CBA

8、已知 CAB 90，AD CB，△ACE，△ABF是正三角形，求证：DE DF

9、如图3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DE AM，E是垂足，

DE

求证：

10、如图（３），已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，高AD、BE交于点Ｈ，

求证： DH DA=

1

BC2 4

11、已知如图△ABC中，AD平分∠ABC，AD的垂直平分线交AB于点Ｅ，交AD于点Ｈ，交AC于点Ｇ，交BC的延长线于点Ｆ， 求证：DF2＝CF

BF

B

F

参考答案

1、C 2、B 3、C 4、C 5

、3,6、 8

4:1

2

7、证明：在RtADC中，由射影定律得，CD CEAC，

2

在RtBCD中，同理得 CD CFBC

CEBC

CFAC

CBA 又 ECF BCA， CEF

22AC CDCB,AB BD

BC

RtBAC8、证明：如图所示，在中，

CEAC CFBC,

ACCDAD

ABADBD

AEAD

AC AE,AB AF,

BFBD

又 FBD 60 ABD, EAD 60 CAD, ABD CAD FBD EAD， EADFBD, BDF ADE

FDE FDA ADE FDA BDF 90 DE DF

所以RtAMB～RtADE

ABM AED 90 AMB DAE，9、证明：在RtAMB和RtADE中，

ABAM

DE

AD，因为AB=a，BC=b

， 所以

DE

ABAD

AM

所以 10、证△ABD∽△BDH即可

11、证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，

∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，

∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，

∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC公共，

ＡＦCＦ

∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦ＝ＡＦ，

∴ＡＦ２＝ＣＦ ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ ＢＦ。

B

F