等差数列习题课

等差数列习题课

任跃霞 莘县第一中学

一、知识要点；1、定义：{an }为等差数列

2、 通项公式： an

推广： an

am (n m)d

3.前n项和公式 : Sn 4.重要结论： ( 1) {an }为等差数列 an

kn b2

(2){an }为等差数列 S n An Bn

5.等差数列性质：(1) an

am n m d

(2)若 m n p q 则 am an ap aq(3)若数列 {an } 是等差数列，则

S k , S 2 k S k , S3k S 2 k , S 4 k S3k , 也是等差数列 (4)等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列 仍为等差数列

6.等差数列判定方法： (1)定义法： an 1 an 常数 2an an 1 an 1 (2)等差中项法： (3)看通项法：(4)看前n项和法：

an kn (其中 b k , b为常数)2

Sn An Bn( A、B为常数)注意：证明一个数列为等差数列用第一、第二种方法.

二、主要题型分析: 1、等差数列的基本运算：用通项公式和前n项和公式,已知a1 , n, d , an ,Sn 中的任意三个可以求出另外二个. 1.在等差数列{an }中,(1)已知a1 3, d 2, n 10, 求an , sn ; (2)已知a1 4, an 36, d 2, 求n, sn ;

(1)an 15; Sn 60(2)n 17; Sn 340

2、应用等差数列的定义进行解题：2.(1)若{an },{bn }成等差数列, 且a1 34, b1 66, a98 85,100 . b98 15, 则a2004 b2004 ______

(2)已知等差数列a1 , a2 , a3 , an的公差为d , 则ca1 , ca2 , ca3 , , can (c为常数)是( A公差为d的等差数列 C不是等差数列B

) B公差为cd的等差数列 D以上说法都不对

(3)已知等差数列{an }的前3项分别为a 1, a 1, 2a 3, 则 此数列的通项公式是 _________ a 2n . 3n

3、应用等差数列的性质解题：n

3.在等差数列 {aa }中, n, a m, 则a (3) 若已知 m n m n ___;.4 (1)若a3 a4 a5 a6 a7 10, 则a2 a8 ___; 38 (2)若a4 5, a9 20, 则a15 _____;

(a1 a15 ) 15 解：∵ S , S10 S15 -S 90 5,S15-S10成等差数列 5 2 ∴2(S10-S5)=S5+S15-S10, a1 a15 12, 则 a8 6 即30=5+S15-20 S15=45

5 1 (4)若s5 5, s10 20, 则sS ____; 405 45 d k 2 1545 3 1 6 (5)若s15 90, 则a8 _____. 又知a1 1, 所以an 2n 1

2 n 1 (3)若(, 11 )(3,5)是数列 an 图象上的两点，则an ____; 0

6. 已知 an , bn 是两个等差数列，前

S 2 n 1 a8 S15 2 15 1 29 a n 推广： b8 T 15 15 3 18 bn T2 n 19 (a1 a9 ) S9 2 T9 (b b ) 9 1 9 2

Snn 2n 1 a a S 9 分别是 Sn 和 Tn , 且 , 求 8 . T n 3 b T8 b n 9 n

n

项和

(a1 a9 ) 2a5 a5 9 (b1 b9 ) 2b5 b5 8

(7)若等差数列 an 共有10项，其中S奇 =15,

3 S偶 =30, 则 d _____;(8)若等

差数列 an 2 项数为奇数，其中 S奇 =44 , 解：设数列的项数为 n 1; 则奇数项为n; 偶数项为 n 1. S奇 =a1 a3 a5 a2 n 3 a2 n 1S = a a a a 2 4 6 n 2 a 偶 (6)解： S偶 =a2 a4 a6 2 a 8 10 S奇 -S 偶 = -(n-1)d a2n 1 =-(n-1)d a1 +(2n-2)d S奇 =a1 a3 a5 a7 a9 an 44 33 11 a1 +(n-1)d an (a1 =5 a2 nd n 1) S S 即 5 d 15; 31) 1 ) (2 S 偶 奇 a 30 (2n 1) 11d (2 n 2 n 1

S偶 =33, 求数列的中间项和项数。

又因S2n 1 S奇 +S偶 =44 33 77 故项数为7. 11(2n 1) 77 则n 4

2

n

4、等差数列的前n项的最值问题

4.(1)数列{an}中，an=2n-26,当前n项和Sn最小 时，n=___________ 12或13 (2)设数列{an}是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn B 是数列{an}的前n项和，则

A、S4<S5 B、S4=S5

C、S6<S5

D、S6=S5

(3)已知在等差数列{an}中，a1>0,S3=S11,若Sn 最大，则n为 A、3 B、7 C、8 D、11

(3)已知在等差数列{an}中，a1>0,S3=S11,若Sn 最大，则n为 B A、 3 B、7 C、8 D、11

解法1 由S3=S11得

a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8∴a7+a8=0 又d<0, a1 >0 ∴a7>0,a8<0

∴当n=7时,Sn取最大值.

(3)已知在等差数列{an}中，a1>0,S3=S11,若Sn 最大，则n为 BA、 3 B、7 C、8 D、11Sn

解法2 由S3=S11得 d<0

则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为∴当n=7时,Sn取最大值.

3 11 n 7 2

n 3 7 11

(4)等差数列{an}中，首项a1>0,公差d<0,Sn为 其前n项和，则点(n,Sn)可能在下列哪条曲线上。Y X Y X

C

O

O

AY X Y

B

O

O

X

C

D

5、其他的题型：1 5(1).在数列{an }中,已知a3 2, a7 1, 且{ }成等差数列, 1 an 则a11 _____;

4 1 (2).已知数列{an }中, a1 4, an 4 (n 2)令bn , an 1 an 2 求证 :{bn }为等差数列; 并求{an }的通项公式.

4 1 例6:已知 a n 数列满足a1 =4,a n =4- ,令bn . a n-1 an 2 (1)求证数列 b n 是等差数列。

(2)求数列 an 的通项公式。

4 2(an 2) 解：() 1 a n+1 2 2 an an 1 an 1 1 a n+1 2 2(an 2) 2 an 2 1 1 1 1 . bn 1 bn . a n+1 2 an 2 2 2

数列 bn 是等差数列

4 1 例6:已知 a n 数列满足a1 =4,a n =4,令bn . a n-1 an 2 (1)求证数列 b n 是等差数列。 (2)求数列 an 的通项公式。 1 解(2) 是等差数列 an 2 1 1 1 n (n 1) an 2 a1 2 2 2 2 an 2 . n