随机振动--第6章-傅里叶变换

第6章傅里叶变换

一个随机过程的特征可以用其数字特征（数学期望、方差、相关函数）来描述，但这些都是在时间域里描述幅值的统计特性。

而工程中则往往希望能在频率域来描述随机振动过程的特征。常用的就是功率谱密度函数（简称功率谱密度、功率谱）,所以就要用到傅里叶变换。

1.2.3.傅立叶级数

傅立叶变换及其10大性质狄拉克δ函数及其性质

1、傅立叶级数

1）傅立叶级数的实数形式

任一周期函数x(t),如在[-T/2,T/2] 区间满足狄利克雷（狄氏）条件，都可展开成傅立叶级数（傅氏级数）

狄氏条件：(1)函数连续或只有有限个第一类间断点； (2)函数只有有限个极值点。设一周期函数x(t ),周期为T,满足狄氏条件，则可将其展开成傅氏级数： a0 [ a n cos n t bn sin n t] x(t ) 2 n 1

A0 An cos(n t n )n 1

T 2 2 其中： a n T x(t ) cos n tdt T 2 T 2 2 bn T x(t ) sin n tdt T 2 n 1,2,3....... 2 2 a 0 T x(t )dt T 2

T

其中各符号的意义为： An-n阶谐波的幅值，An A B;2 n 2 n

n 相位角， n arctg (bn a n ); A1 cos( t 1 ) 基波； An cos(n t n ) n阶谐波；A0 x(t )的直流分量，A0 a 0/ 2.系数a 0, a n, bn系数傅立叶系数.

可以证明

一个周期的时间函数x(t) 展开成三角级数时,如采用傅立叶系数,则所得级数完全等价于原来的时间函数x(t),没有任何遗漏.

2)傅立叶级数的复数形式利用欧拉公式可得： 1 jn t cos n t ( e e jn t ) 2 1 sin n t ( e jn t e jn t ) 2j代入实数形式公式可得：

a0 1 1 jn t x (t ) ( a n jb n ) e 2 2 n 1 2 a0 1 ( a n jb n ) e jn t 2 n 2n 0

( a n jb n ) e jn t

n 1

可写成紧凑形式：

x (t )

n

c en

jn t

1其中：c n T

T 2 T 2

x (t ) e

jn t

dt

2、傅立叶变换狄氏条件: (1)函数f(t)连续或只有有限个第一类间断点；(2)函数f(t)只有有限个极值点。

傅立叶变换F ( )

f ( )e

j

d j t

1傅立叶逆变换 f (t ) 2

F ( )e

d

傅立叶变换的10大性质：

(1) 若函数f(t)是实函数，则其傅立叶变换F(w)一般是复数：F(w)=Re(w)+jIm(w)

(可根据其定义证明)

(2)奇偶虚实定理

若f(t)是实偶函数，则F(w)也为实偶函数；若f(t)是实奇函数，则F(w)也为实奇函数。(3)线形叠加定理

F[af(t)]=aF[f(t)]=aF(w)F[f1(t)+f2(t)]=F1(w)+F2(w)

(4)时域平移定理F[f(t t0)] F( )e j t0

傅立叶变换的10大性

质： j F ( ) f ( ) e d (5)对称性定理： F[ F (t )] 2 f ( )把F(w)的变量换成t, (6)时域微分定理 d n f (t ) nF[ dtt

倒频谱

n

] ( j ) F ( )

(7)时域积分定理

F[

f ( t ) dt]

1 F ( ) j

(8)能量积分，Parseval公式设

1 2 2 f (t )dt (即绝对可积 ), f (t )dt 2

2

F ( ) d

傅立叶变换的10大性质： (9)乘积定理： 1 * f1 (t ) f 2 (t )dt 2 F1 ( ) F2 ( )d 1 * F1 ( ) F2 ( )d 2 (10)时间伸缩定理

1 F[ f (at )] F ( ) a a

3、狄拉克δ函数(δ函数)是一个广义函数，没有普遍意义下的函数值。定义：满足下列条件的函数称为δ函数。 0 (1) (t ) (2) (t ) dt 1

当t 0当t 0

推论一下：

0 (1) (t t 0) (2) (t t 0)dt 1

当t t 0当t t 0

δ函数的性质：

(1) 函数是偶函数, (t ) ( t ); 1 (2) (t ) dt a 0b

当a 0 b当a b 0或0 a b

(3)如果f (t )为一连续函数,则有

f (t ) (t t0 ) dt f (t0 ) f (t ) (t )dt f (0)