5.2 不定积分的性质及简单计算

来源：网络收集时间：2026-07-17

导读：深大成教2011工商管理经济数学 5.2 不定积分的性质及简单计算5.2.1 不定积分的性质 .2.1 5.2.2 基本积分表 .2.2 5.2.3 不定积分的计算举例深大成教2011工商管理经济数学 5.2.1 不定积分的性质性质1 性质1 运算. 运算. 不定积分与求导数或微分互为逆 ∫ ∫ (

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5.2 不定积分的性质及简单计算5.2.1 不定积分的性质 .2.1 5.2.2 基本积分表 .2.2 5.2.3 不定积分的计算举例

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5.2.1 不定积分的性质性质1 性质1 运算. 运算. 不定积分与求导数或微分互为逆

∫ ∫ (2) ∫ F ′( x)dx = F ( x) + C 或 ∫ dF ( x) = F ( x) + C .

(1) [ f ( x)dx]′ = f ( x) 或 d[ f ( x)dx] = f ( x)dx .

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性质2 被积表达式中的非零常数因子，性质2 被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前. 可以移到积分号前.

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (

常数). k ≠ 0 ,常数).

性质3 两个函数代数和的不定积分，性质3 两个函数代数和的不定积分，等于两个函数积分的代数和. 于两个函数积分的代数和.

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx. 一般地，一般地， [ f ( x) ± f ( x) ± ± f ( x)]dx ∫ = ∫ f ( x)dx ± ∫ f ( x)dx ± ± ∫ f ( x)dx.1 2 n 1 2 n3

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练习一: 练习一:填空题

(1)

(

sin x 2 sinx dx = ________ ∫2

)

′

cos x + C ∫ (cos x)′dx = ________ 3 x e x (3 x 2 + x3 ) (3) ∫ f ( x)dx = x e + C , ( ∫ f ( x)dx)′ = ______ (4) 若f ( x)的一个原函数是 sin x, 则∫ f ′( x)dx = cos x + C _______ x x cos (5) ∫ f ( x) dx = 2sin + C , 则 f ( x) = _______ 2 2

(2)

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根据导数基本公式就得到对应用的积分公式. 公式. 例如，例如，因为

1 x ′ 1 ( a ) = a x ln a = a x (a > 0, a ≠ 1) , ln a ln a 1 x x 所以 a dx = a + C (a > 0, a ≠ 1) . ln a

∫

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4.2.2 基本积分表下面列出的基本积分公式，下面列出的基本积分公式，通常称之为基本积分表，为了便于对照，本积分表，为了便于对照，右边同时列出了求导公式. 导公式. 基本积分表 1. kdx = kx + C ( k 为常数); 为常数)α α +1

　导数公式

∫ 1 x 2.∫ x dx = α +1

(C)′ =0 ;

+C;

(xα )′ =αxα 1;

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∫ (a )′ = a lna; ∫ 5. ∫ e dx = e + C ; (e )′ =e ; 6. ∫ sin xdx = cos x + C ; (cosx)′ = sin x; (sin x)′ =cos x; 7. ∫ cos xdx = sin x + C ; 8. ∫ sec xdx = tan x + C ; (tan x)′ =sec x; 9. ∫ csc xdx = cot x + C ; x)′ = csc x; (cotx xx x

1 3. x dx = ln x + C ; 1 x x a +C ; 4. a dx = ln a

1 (ln x)′ = ; x

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1 dx (arcsin x)′ = 10. 1 x 2 = arcsin x + C ; 2 ; 1 x 1 1 (arctan x)′ = 11. 1 + x 2 dx = arctan x + C ; 2; 1+ x

∫

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5.2.3 不定积分的计算举例例1 解求

∫x

(2e x 3 sin x)dx .

∫ ( 2e

3 sin x)dx = 2 e dx 3 sin xdxx

∫

= 2e x + 3 cos x + C .

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1 x + x 2 x3 dx . 例2 求 2 x 1 x + x 2 x3 1 1 dx = ( 2 + 1 x)dx 解 2 x x x 1 1 = 2 dx dx + dx xdx x x 1 1 2 = ln x + x x + C . x 2

∫

∫ ∫

∫

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例3 解

求

∫

(3 x 1) 2 dx .

∫ =∫

(3 x 1) 2 dx = (3 x 2 23 x

+ 1)dx3

∫

x 2 dx 2

∫

xdx + dx

∫

3 5 3 4 = x3 x3 + x + C . 5 2

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1 x2 dx . 例4 求 2 1+ x 先把被积函数化简：解先把被积函数化简：

∫

1 x2 2 (1 + x 2 ) dx = dx 2 2 1+ x 1+ x dx =2 dx 2 1+ x

∫ ∫

∫

= 2 arctan x x + C .

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例5 解

求 cot 2 xdx

∫

cot 2 xdx = (csc2 x 1)dx2

∫ = ∫ csc

xdx dx

∫

= cot x x + C

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x 例6 求 sin dx . 2 2 x 利用三角函数的半角公式，解利用三角函数的半角公式，有sin = 2 1 cos x ,所以 2 x 1 cos x 2 sin dx = dx 2 2 1 1 = dx cos xdx 2 2 1 = ( x sin x) + C. 2

∫

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注意：注意：当不定积分不能直接应用基本积分表和不定积分的性质进行计算时，表和不定积分的性质进行计算时，需先将被积函数化简或变形再进行计算. 函数化简或变形再进行计算.计算的结果是否正确，只需对结果求导，正确，只需对结果求导，看其导数是否等于被积函数.例如，要检查例4的结果是否正确，积函数.例如，要检查例4的结果是否正确，只需计算 2 1 x2 ( 2 arctan x x + C )′ = 1 = 2 2 , 1+ x 1+ x 就可以肯定计算结果一定正确. 就可以肯定计算结果一定正确.

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练习二：练习二：计算下列不定积分

(1) ∫ (1 + x 2 + cos x + e x )dx 1 3 = x + x + sin x + e x + C 3 1 (2) ∫ ( sin x + a x + x 3 )dx x 5 1 x 2 2 a + x +C = ln | x | + cos x + ln a 5 2 x (3) ∫ dx 2 1+ x = x arctan x + C

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