自动控制原理课件4-2 根轨迹绘制的基本法则

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§3 绘制根轨迹图的基本规则例4-2-2K r ( s 5) 某单位反馈系统 G ( s ) H ( s ) s( s 1)( s 2)

要求画出根轨迹。z1 5, p1 0,

分析：1个开环零点，3个开环极点，p2 1, p3 2j ●

-5

× -2

× × 0 -1

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规则一、 根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数n。根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特

闭环极点数 = 闭环特征方程的阶次 = 开环极点数 = 开环传递函数的阶次 分支数就应等于系统特征方程的阶数。例

征方程的根(即闭环极点)在s平面上的分布，那么，根轨迹的

K r ( s 5) G( s) H ( s) 3阶 s( s 1)( s 2)

K r ( s 5) 0 闭环特征方程1 G( s) H ( s) 1 s( s 1)( s 2)

s( s 1)( s 2) K r ( s 5) 0

闭环系统的阶次为3 ,有3条根轨迹 。

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规则二、根轨迹的起点和终点：每条根轨迹都起始 于开环极点，终止于开环零点或无穷远点。 根轨迹是Kr从0→∞时的根变化轨迹，因此必须 起始于Kr=0处，终止于Kr=∞处。

s p1 s p2 s pn 观察幅值条件： K r s z1 s z2 s zmK r 0, 必有 s p j j 1,2..., n K r , 必有 s zi i 1,2,..., m 分三种情况讨论：

K r ( s 5) G( s) H ( s) s( s 1)( s 2)

如果 n< >m, m, m条根轨迹趋向开环的m 个零点(称为有限零点) , 如果 n 即开环零点数大于开环极点数时，除有 n条根轨迹起 如果 n = m ,即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终 而另n-m条根轨迹趋向无穷远处(称为有限零点)。 点均有确定的值。 始于开环极点 (称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷 远点(称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，

对于例题，3条根轨迹始于3个开环极点，一条止 但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。 于开环零点，另两条(n-m=2)趋于无穷远处。

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根轨迹的对称性：根轨迹各分支是连续的， *规则三、 且对称于实轴。

证明：(1)连续性 系统开环根轨迹增益 Kr (实变量)与复变量s有一一对应的关系，当Kr由零到无穷大连续变化时，描述系 统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的， 因此，根轨迹是n条连续的曲线。 证明：(2)对称性 由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征 方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此, 根轨迹总是对称于实轴的。

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规则四、 实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根 轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和 为奇数。例如系统的开环零、极点分布如图。

要判断 p3和 z1之间的线段是否存 在根轨迹，取实验点 s0

开环共轭极点和零点提供的相角 相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的 开环零极点决定。●●

j ×

p4 1

﹣5 s 0 ﹣2 ﹣1

× × × 2

0

处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度均 为零， 相角条件由其右边的零极点决定。 奇数个π,无论如何加减组合，总能 使±lπ(l=1,3,…)成立。

×

p5

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规则四、实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹 的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数 对于例题， 在实轴上的根轨迹：K r ( s 5) G( s) H ( s) s( s 1)( s 2)

一条始于开环极点，止于开环零点，j

另两条始于开环极点，止于无穷远处。

●

×﹣2

×﹣1

×0

﹣5

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规则五、渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。l 1800 l 1,3,5.. 渐近线与实轴的夹角为： n m

渐近线与实轴的交点为：

p zj 1 j i 1

n

m

i

n m

l 它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的l 如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状

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证明：见图4-5。× ● ●

j P4 1●

对于位于根轨迹上某一动点s0, 从各开环零极点到这一点的向 量的相角随s0轨迹的变化而变化，●

﹣5 S 0 ﹣2 ﹣1

●

× × × 2

0

×

●

当s0到达无穷远处，各相角相等， 令其为ψ,可写成：

P5

图4-5

m n l 180 ●

l 180 进而求出渐近线夹角： , l 1,3,... n m

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渐近线一定交于实轴上，其交点实际 由对称性知， 上相当于零极点的质量重心。 n m 按照重心的求法，可求知交点的坐标 对例4-2-2,渐近线与实轴夹角为：j 1 j i 1

p zn m0 0

i

l 180 180 l 2 n m

(l 1,3, ) 90 , 90 (270 )0

交点坐标为：

1 2 ( 5 ) 2

1,j

即(1,j0)。

●

× × ×﹣2 ﹣1

﹣5

0 1

G( s) H ( s)

K r ( s 5) s( s 1)( s 2)

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dK r 合点是方程式 0 ds

根轨迹的分离点与会合点：分离点与会 规则六、 的根。

会 分 当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离 合 离 点 点 点或会合点，大多发生在实轴上(仅讨论实根)。 × ×

性质： 在此点上必出现重根。

Kr=∞

Kr=∞

Kr=0

Kr=0

利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴 上两相邻极点间时，必有一分离点。 若当根轨迹出现在两相邻零点间(包括无穷远零 点)时，必有一会合点。 根轨迹在该点上对应的Kr取这段实轴区域的极值。 分离点-最大值，会合点-最小值。

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它们可以利用代数重根法或极值法求出。(介绍后者)

由求极值的公式求出：b( s ) 1 H ( s )G ( s ) 1 K r 0 a( s ) a( s ) Kr b( s )

在实轴根

轨迹上，求使Kr达到最大(最小)值的s 值:dK r a' ( s )b( s ) a( s )b' ( s ) a' ( s )b( s ) a( s )b' ( s ) 0 0 ds b2 ( s) 180 0 求出重根角为: n m

注意：求出结果，需经判断，保留合理解。

如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。

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K r ( s 5) 在例题4-2-2中， G ( s ) H ( s ) s( s 1)( s 2)

s( s 1)( s 2) s 3 3s 2 2s Kr ( s 5) s 5

j

dK r ( 3 s 2 6 s 2)( s 5) ( s 3 3 s 2 2 s ) ( s 5) 2 ds2 s 3 18 s 2 30 s 10 0 2 ( s 5)●

-0.447

× × ×﹣2 ﹣1

﹣5

0

1

2s 3 18s 2 30s 10 0 解出： s1 0.447, s2 1.61, s3 6.94对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐 0 180 标为(-0.447,j0)处。 求出重根角为: 900 n m

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试探法求分离点：

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