2012届高考数学第一轮专题复习平面向量的数量积

第二十五讲 平面向量的数量积

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为( )

A．－2 B．2

C．－12 D．不存在

解析：由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，

∴a＋b＝(m＋2，m－4)，

a－b＝(m，－m－2)．

∵(a＋b)⊥(a－b)，

∴(a＋b)·(a－b)＝0，

∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，

解之得m＝－2.

故应选A.

答案：A

2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有(

A．a⊥b B．a∥b

C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|

解析：f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，

即f(x)的表达式是关于x的一次函数．

而(xa＋b)·(a－xb)＝x|a|2－x2a·b＋a·b－x|b|2，

故a·b＝0，又∵a，b为非零向量，

∴a⊥b，故应选A.

答案：A

3．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的范围是( )

A．(1，＋∞) B．(－1,1)

C．(－1，＋∞) D．(－∞，1)

解析：∵a与a＋2b同向，

∴可设a＋2b＝λa(λ>0)，

则有b＝λ－12a，又∵|a|2＋12＝，

)

∴a·b＝λ－12·|a|2＝λ－12×2＝λ－1>－1，

∴a·b的范围是(－1，＋∞)，故应选C.

答案：C

4．已知△ABC中， AB a,AC b, a·b<0，S15△ABC4，

|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于( )

A．30° B．－150°

C．150° D．30°或150°

解析：∵S115△ABC＝2a||b|sin∠BAC4

∴sin∠BAC＝12

又a·b<0，∴∠BAC为钝角，

∴∠BAC＝150°.

答案：C

5．(2010·辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设 OA a,OB b,则△OAB的面积等于(

A.|a||b|－(a·b) B.|a|2|b|2＋(a·b)2 C.1

2|a||b|－(a·b) D.1|a|2|b|2

2＋(a·b)2

解析：cos〈a，b〉＝a·b

|a|·|b|， sin∠AOB＝－cos2〈a，b1－a·b 2

|a|·|b|，

所以S1△OAB2a||b|

sin∠AOB＝2a|2|b|2－(a·b)2.

答案：C

6．(2010·湖南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB AC等于( )

A．－16 B．－8

C．8 D．16

)

AC解析：解法一：因为cosA＝， AB

故AB AC |AB||AC|cosA＝AC2＝16，故选D.

解法二：AB在AC上的投影为|AB|cosA＝|AC|，

2故AB AC |AC| |AB|cosA＝AC＝16，故选D.

答案：D

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．(2010·江西)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是________．

解析：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos60°＝1.

答案：1

8．(2010·浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．

解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|4|α|＋4α·β＋|β|＝＋2＋4＝答案：9．已知|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.

解析：由λb－a与a垂直，(λb－a)·a＝λa·b－a2＝0，所以λ＝2.

答案：2

10．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则OA (OB OC)的最小值是________．

解析：令|OM|＝x且0≤x≤2，则|OA|＝2－x.

22OA(OB OC) OA 2OM＝－2(2－x)x＝2(x－2x)＝2(x－1)－2≥－2.

∴OA(OB OC)的最小值为－2.

答案：－2

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．

解：由|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，

则a·b＝|a||b|cos45°＝×1×

221. 2222而(2a＋λb)·(λa－3b)＝2λa－6a·b＋λa·b－3λb＝λ＋λ－6.

设向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ，

(2a＋λb)·(λa－3b)则cosθ＝，且cosθ≠1， |2a＋λb||λa－3b|

∴(2a＋λb)·(λa－3b)>0，∴λ2＋λ－6>0，

∴λ>2或λ<－3.

假设cosθ＝1，则2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)，

2＝kλ，2∴ 解得k2＝－3 λ＝－3k，

故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0°的λ不存在．

所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角．

a·b评析：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθ去判断θ分五种情况：|a||b|

cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0且cosθ≠－1，θ为钝角；cosθ>0且cosθ≠1，θ为锐角．

12．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝ －1， . 22

(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；

(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．

13解：(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－ 4＋4＝0，故a＋b与a－b垂直．

(2)由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2，

1 所以2(|a|2－|b|2)＋3a·b＝0，而|a|＝|b|，所以a·b＝0，则 －·cosα＋sinα＝0， 2 2

即cos(α＋60°)＝0，

∴α＋60°＝k·180°＋90°，

即α＝k·180°＋30°，k∈Z，

又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.

π－θ ，sinπ－θ ， 13．已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝ cos 2 2

(1)求证：a⊥b；

k＋t2

(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t＋3)b，y＝－ka＋tb满足x⊥y t2

π解：(1)证明：∵a·b＝cos(－θ)·cos －θ ＋ 2

π sin(－θ)·sin 2－θ ＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.

∴a⊥b.

(2)由x⊥y，得x·y＝0，

即[a＋(t＋3)b]·(－ka＋tb)＝0，

∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0， ∴－k|a|＋(t＋3t)|b|＝0.

又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0， ∴k＝t＋3t，

k＋t2t3＋t2＋3t2∴＝t＋t＋3 tt

1211＝ t＋ 2＋41k＋t11故当t＝－有最小值2t4

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