从一道高考数列题谈裂项相消在数列求和问题中的应用

谈裂项相消在高考数列求和问题中的应用

江西省遂川中学（343900） 黄雪林

摘要：裂项相消是数列求和问题中的一种重要方法，也是证明数列不等式的一种非常有典型特征的方法。裂项相消是数列求和教学的一大难点，同时也是高考的重点，学生解决这类问题极感困难。在教学过程中，掌握和理解裂项相消的基本思维策略，能够在解决数列不等式证明中，找到证明方向，突破思维障碍。

关键词：高考试题；数列不等式；裂项相消；思维策略 正文：

2013年高考数学江西卷理科第17题如下：

正项数列{an}的前项和{an}满足：sn (n n 1)sn (n n) 0 （1）求数列{an}的通项公式an； （2）令bn

2

2

2

n 1

n 2

2

2an

，数列{bn}的前n项和为Tn。证明：对于任意的n N，都有

*

Tn

5 64

这道题目很基础，却对裂项相消有很深的理解。裂项相消法实质上是把一个数列的每一项裂为两项的差，即化an f n f n 1 的形式，从而达到数列求和的目的，即得到

Sn f 1 f n 1 的形式．裂项相消最重要得过程就是裂项，如何判断数列求和问题和

数列不等式证明中使用裂项相消这个方法就显得非常重要！

裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，笔者通过长期教学的研究，并加以总结，归纳出其本质就是两大类型，让同学们通过对题型的了解，可以快速掌握其技巧，达到事半功倍的效果．

类型一、an

kk 11k

型，通过拼凑法裂解成an

anan ccd anan cfnfn c

无论是等差型、指数型、抽象型、混合型还是2013年高考数学江西卷理科第17题的第二问就是这样一个问题，学生感觉到特别难，基本无从下手，久经尝试探索还是无功而返，对我们的教学提出了反思。

我们的学生在教学过程中都见过形如①

111

1 22 3n(n 1)

②

111

1 33 5(2n 1)(2n 1)111

1 32 4n(n 2)

③

这一类的等差型，分母由一个等差数列的相邻或相近项相乘构造得到，并且在教学过程

中能够很好的将各项裂解成

an

kk 11

anan ccd anan c 。

n

n 1

在学习裂项相消的过程中也接触过形如：由于 a 1 a a

an，所以可以将

a 1 an 11

bn n n n 1裂项，从而解决bn n这一类指n 1n 1

(a b)(a b)a ba b(a b)(a b)

数型。

2013年高考数学江西卷理科第17题的第二问正是这样一个混合型的裂解，在第一问中已经求出an 2n，第二问中令bn 于任意的n N，都有Tn 如何正确裂解bn

*

a 1 an

n 1

，数列{bn}的前n项和为Tn。要求证明：对

(n 2)2a2

564

2

n 1

n 2

a

2n

是解决本题的关键！将an 2n代入bn

n 1

n 2

2

a

2n

，

则bn

n 1

n 2 2n

22

11 11

， 2 2 44 n n 2

1 1111111

于是容易得到Tn 1 2 2 2 2 2 2 2 16 n n 2 32435 1 111 1 1 5 1 2 1 222 16 216264 n 1 n 2

得到证明。

类型一、通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型

该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如an

k

型，常见的

fn fn ca logan 1 logaan 1 logaan本身可以裂解。

an阶乘和组合数公式型要重点掌握nn! n 1 ! n!和Cn 1 Cn Cn

m

m

m 1

。

例如，化简：1 2 2! 3 3! 4 4! n n!

分析 由上面所推出的结论得到：

原式= 2! 1! 3! 2! 4! 3! n 1 ! n! n 1 ! 1

以上笔者将常见的数列裂项相消问题整理为两大类解决方法，在实际运用中出现的一些不常见题型需要同学们细心发现特征，敢于大胆猜测，可以用通项裂解，也可以利用首项裂

解，甚至可以利用待定系数法去完成裂开通项。总之同学们只有在平时的练习中多归纳总结，多进行横向纵向的比较，加以积累掌握裂项相消的解题技巧，优化解题思维策略实现真正的高效学习。 参考文献：

2013年江西数学{理工农医类}高考试卷 张泉，《世纪金榜》，延边大学出版社