5.2 二次函数的图像和性质(4)

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5.2

二次函数的图像和性质(4)

1.会用描点法画函数 y=a(x+m)2+k(a≠0)的图像； 2.会用平移变换解释函数 y=a(x+m)2+k 与函数 y=ax2+k、y=a(x+m)2、y=ax2(a≠0)的图 教学目 标 像之间的关系； 3.会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标、对称轴，根据对称性列表、描点、画图，并确定 函数的最大值或者最小值； 4.进一步体会数学研究问题由具体到抽象 、特殊到一般 的思想方法. ..... ..... 教学重 点 教学难 点 1.会用平移变换解释函数 y=a(x+m)2+k 与 y=ax2(a≠0)的图像之间的关系； 2.会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标、对称轴、函数的最值，根据对称性列表、描点、 画出函数图像. 感受图形的运动变化与图形上点的坐标变化之间的关系，体验由具体到抽象、特殊到一般的研究 问题的方法. 教学过程(教师) 回顾与猜想 你知道函数 y=x2+2 的图像与 y=x2 的图像 回顾上节课所学函数 y=ax2+ 新旧知识比较， 猜想激发学生学习 新知识的欲望. 学生活动 设计思路

有什么关系？函数 y=(x+3)2 的图像和 y=x2 的图 k、 y=a(x+m)2 的图像和函数 y=ax2 像有什么关系？ (a≠0)图像的关系，为本节课学

猜想：函数 y=(x+3)2+2 与 y=x2 有什么关 习打下基础. 系？

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活动一：画图与观察

1 .按照列表、描点、连线的

学生有了上节 课的基础， 能猜想出

画函数 y=x2、y=(x+3)2 和 y=(x+3)2+2 的 过程画函数图像. 图像. 1.填表： x y=x2 y=(x+3)2 y=(x+3)2+2 … -4 … … … O -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … y

函数 y = (x + 3)2 + 2 可以 由函数 y=x2 通过平 移变换得到. 让学生经历列 表、描点、作图、比 较x ,验证自己的猜 想， 再次用运动变化

2.画图：在平面直角坐标系中，描点并画出 函数 y=x2、 y=(x+3)2 和 y=(x+3)2+2 的图像； 3.观察： (1)你能说出函数 y=(x+3)2+2 的图像的形 状吗？ (2)函数 y=(x+3)2+2 的图像与函数 y=(x +3)2 和 y=x2 的图像有什么联系？ (3)根据图像，你能得出函数 y=(x+3)2+2 图像的性质吗？ 4. 思考： 函数 y=x2+2x+3 的图像是抛物线 吗？它与函数 y=(x+1)2+2 有何关系？ +2 +3

学生画图，观察、思考并交流 的眼光观察并发现 y 提出的问题. =a(x+m)2 +k 与 y

2.通过配方发现：y= x2+2x = ax2 ( a≠0 )的图 像之间的关系， 从而 =(x+1)2 判断函数 y = a(x + m)2 + k 图像也是抛 因此得出函数 y=x2+2x+3 的 物线； 并通过观察得 图像是抛物线. 到函数 y=(

x+1)2+ 2 的性质. 通过配方将二 次函数一般式 y=x2 +2x+3 转化为 y= (x + 1)2 + 2 ,将新问 题转化为已经研究 过的问题， 培养学生 转化的数学思想.

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总结与归纳

学生先交流、尝试概括，师生

思考： (1)函数 y=a(x+m)2+k 的图像与 y 共同总结出结论： =ax2(a≠0)的图像有什么关系？ (1)函数 y=a(x+m)2+k 的 学生相互交流、 补充， 逐步完善函数

2 (2)函数 y=a(x+m)2+k(a≠0)有什么性 图像可以看成由函数 y=ax( a≠0)

质？

的图像平移得到，当

k>0 时，向上平移 k 个单位，当 k y=a(x+m)2+k 的性 <0 时， 向下平移-k 个单位； 当 m 质，函数的增减性、 >0 时，向左平移 m 个单位，当 m 开 口 方 向 和 最 大 <0 时，向右平移-m 个单位. (小)值要分 a > 0

(2)函数 y=a(x+m)2+k 顶点 和 a<0 来讨论. 坐标是 (-m,k) ,对称轴是过(-m,k) 与 y 轴平行的直线. 活动二：转化与思考 (1) 类 比 一 元 二 次 方 程 的 解

(1)你能将函数 y=-x2-4x-5 转化为 y= 法，学生先尝试通过配方法将函数 a(x+m)2+k 的形式吗？并画出它的图像，指出它 y =- x2 - 4x - 5 转化为 y = a(x + 的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大(小)值. m) +k 的形式，再引导学生交流此 (2)如何将二次函数 y=ax2+bx+c 转化 y 处配方与解方程配方的区别； =a(x+m) +k 的形式？2 2

从函数 y =- x2 -4x-5 到函数 y= ax2+bx+c 转化为 y =a(x+ m)2+k 的形 式， 学生体验由具体 到抽象、 特殊到一般 的研究问题的方法.

( 2 )此处对学生抽象能力要 求较高；可安排学生先阅读学习课 本上一般式的配方法，再尝试自己 写出来；学有余力的学生鼓励自己 写出配方的过程，同学在互相交流 中体会怎么实现由具体到抽象的 过渡.

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总结与归纳

学生先交流、尝试概括，师生 根据公式 y=b 2a

思考： 二次函数 y=ax2+bx+c 转化为 y=a(x 共同总结出结论： +m)2+k 的形式是什么？由此，你能得到函数 y =ax2+bx+c 的哪些性质？ 二 次 函 数 y = ax2 + bx + c

b 2 a(x + (a≠0)可以转化为 y=a(x+ ) 2a

)2 +

+

4 ac-b ;由此可知，二次函数 4a2

2

b 4 ac-b 2 ,探讨 2a 4a

4 ac-b 2 y=ax +bx+c(a≠0)的图像是抛 和 在二次 4a b 物线，顶点坐标为(, 函数 y=ax2+bx+c 2a (a≠0) 图像和性质 2 4 ac-b ) , 对称轴是过顶点与 y 轴 中 的 几 何 意 义 和 代 4a 数意义， 重点不是公 平行的直线. 式的记忆， 而是配方 函数的

增减性、开口方向和最 的方法. 大(小)值要分 a>0 和 a<0 来讨

论. 检验与反馈 完成课本 P18 练习和课本 P20 习题 5.2 第 7、 学生尝试自己独立练习，有困 通过学生回答， 培养学生运用知识 的能力， 加深对知识 的理解. 促进学生学会 反思，学会反思归 学生讨论总结，师生共同归 纳. 提醒学生类比一 次函数和反比例函 数的学习， 预想下一 节的内容. 课后反思：

8、9 题(本节课堂内容较多，有的比较抽象，所 难可以互相交流，互相学习，互相 以没有安排补充练习) . 老师根据学生练习出现的问题精讲点拨. 小结与反思 (1)我们学习了哪些知识和方法？ (2)对所学知识还有什么疑惑之处？ (3) 你觉得二次函数还有什么可以继续研究 纳. 的问题？ 纠错.

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