第4章 恒定磁场(合9页)

第四章主 要恒定磁场内 容恒定磁场实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导 体内部和它周围的媒质中 ，不仅有恒定电 场 ，同时还有不随时间变化的磁场 ，简称 恒 定磁场（Static Magnetic Field）。 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种 场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习 本章时，注意类比法的应用。 AHJZ-JHH AHJZ-基本实验定律 (安培力定律） 磁感应强度（B）（毕奥—沙伐定律）恒定磁场的基本特性与本质 6学时H 的旋度磁位( m )（J=0）基本方程B 的散度磁矢位（A）1. 磁感应强度 2. 3. 4. 5.6. 电感 7.磁场能量与磁 矢量磁位 场力 真空中安培环路定律 介质中恒定磁场的基 本方程 恒定磁场的边界条件1 -65分界面上衔接条件 边值问题数值法 有限差分法 电感的计算 有限元法解析法 分离变量法 镜像法恒定磁场的知识结构框图2 -65 AHJZ-JHH AHJZ-磁场能量及力磁路及其计算3 -65AHJZ-JHH AHJZ-恒定磁场知识结构框图第四章恒定磁场4.1 磁感应强度4.1.1 安培力定律(Ampere’s force Law )课 后 作 业课本第156-158页： 4-5 4-11 4-19安培力定律 磁感应强度 （比奥-沙伐定律）安培定律指出：在真空中载有电流 I 1 的 v 回路 C1上任一线元 dl1 对另一载有电流 I 2 v 的回路 C2上任一线元 dl 2的作用力表示为v v u v uv μ I dl 2 × ( I1dl1 × R) d F 12 = 0 2 3 4π Ruv μ F 12 = 0 4π∫ ∫l2l1v v u v I 2 dl 2 × ( I1dl1 × R) R3 7 －－式中真空中的磁导率 μ0 = 4π × 10 H/mAHJZ-JHH AHJZ-4 -65AHJZ-JHH AHJZ-5 -65AHJZ-JHH AHJZ-6 -654.1.2 比奥-沙伐定律及磁感应强度电流之间相互作用力通过磁场传递。uv F 12 =续例 4.1-1 （1）适用条件：无限大均匀媒质 ( μ )，且电流分布在 有限区域内。 （2）由毕奥—沙伐定律可以导出恒定磁场的基本方程 （B 的散度与旋度）。Law )∫l2定义： B =vμ0 4πv v I1dl × eR ∫ l1 R2v u I 2 dl 2 × 0 4π∫l1v u v I1dl1 × R 3 R v v r v dl '× eR = dz ' e R 由毕奥-沙伐公式得：v μ B= 0 4πv R r v ( z z ') v v eR = = er + ez R R Rv v v R = rer + ( z z ')ezv v dl ' = dz ' ez比奥-沙伐定理（Biot-Savart例4.1-1 求载流I的有限长直导线外任一点的磁场。∫v v Idl '× eR v μ0 Ir l dz ' = e C' R2 4π ∫ l R3磁感应强度 推广：单位 T（wb/m2）特斯拉。解：选用圆柱坐标系面电流：AHJZ-JHH AHJZ-u v uu v J S (r ') × eR ∫S ′ R 2 dS ' u v uu v u v μ J (r ') × eR 体电流： B (r ) = 0 dV ' R2 4π ∫V ′ u v μ B(r ) = 0 4πu v μ B(r ) = 0 4πv u v Idl '× R ∫l′ R3引入积分变量 θ ，令： 则z ' = z r cot θ当l →∞时θ1 → 0dz ' = r csc θ dθ27 -65AHJZ-JHH AHJ

Z-从对称关系能够看出磁场与坐标φ无 关。不失一般性，将场点取在 φ = 0 ， 即 场 点 坐 标 为 ( r ,0, z ) ， 源 点 坐 标 为 (0,0, z ' ) 。R = r cscθ所以：v v μI B = e 0 2π rθ2 → π8 -65v v μ I θ2 v μI B = e 0 ∫ sin θ dθ =e 0 (cos θ1 cos θ 2 ) 4π r θ1 4π r AHJZ-JHH AHJZ-9 -65例 4.1-2 真空中有一载流为I，半径为R的圆形回路，求其 轴线上P点的磁感应强度。 v 解：元电流 Idl 在其轴线上P点产生 的磁感应强度为： v v v v er ) v μ 0 Idl × e r ( Idl μ0 Idl dB = dB = 4π ( R 2 + x 2 ) 4π r 2 根据圆环磁场对 P 点的对称性4.2 磁场的散度和磁通连续性原理4.2.1 磁感应强度的散度v v v μ J ( x′, y′, z′) × er B( x, y, z) = 0 ∫ dV ′ 2 V′ r 4π v μ 1 = 0 ∫ J ( x ′, y ′, z ′) × [ ( )]dV ′ 4π V ′ v vr v 矢量恒等式 × ( A) = × A + × A v v v 0 μ μ J ( r ′) 1 × J ( r ′)dV ′ B (r ) = 0 ∫ × dV ′ 0 ∫ V′ V′ r 4π r 4π v v μ0 μ J ( r ′) J ( r ′) = ∫V ′ × r dV ′ = × [ 4π0 ∫V ′ r dV ′] 4π v v μ J ( r ′) 两边取散度 dV ′] B (r ) = × [ 0 ∫ ′ 4π V r v 所以 B = 0 表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是 无散场。（在任意媒质中均成立） v 12 -65 AHJZ-JHH 0 可作为判断一矢量场能否成为恒定磁场的必要条件。 AHJZ- B =dBx = dBsinθ v v μ0 I v B = Bx ex = sin θ ∫ dl ex 2 2 l 4π ( R + x ) v μ0 I R = 2π R ex 2 2 2 2 4π ( R + x ) R + x dBy = 0磁感应强度的散度 磁通连续性原理 矢量磁位=μ 0 IR 22( R 2 + x 2 ) 3 / 2v exAHJZ-JHH AHJZ-圆形载流回路轴线上的磁场分布10 -65AHJZ-JHH AHJZ-11 -654.2.2 磁通 磁通连续性原理v Q B ≡ 0∴∫Vv BdV 散度定理∫sv v B dS = 0B 线的性质： B 线是闭合的曲线; B 线不能相交 ( 除 B = 0 外 )； 闭合的 B 线与交链的电流成右手螺旋关系； B 强处，B 线稠密，反之，稀疏。一载流导线 I 位于无限大铁板上 方的磁场分布（B 线） 两根异向长直流导线的磁场分布 两根相同方向长直流导线的磁场 分布这说明磁场通过任意闭合面的磁通量为 零，称之为磁通连续性原理，或称磁场 中的高斯定律 (Gauss’s Law for the Magnetic Field )。 若要计算 B 穿过一个非闭合面 S 的磁 通，则v v Φ = ∫ B dSs(韦伯)磁通连续性原理磁场线仿照静电场的 E 线，恒定磁场可以用 B v 线描绘，B 线的微分方程 vB × dl = 0Bx By Bz 在直角坐标系中 dx = dy = dz AHJZ-JHH AHJZ-B 的通量 Φ长直螺线管磁场的分布（B 线）AHJZ-JHH AHJZ-一载流导线I位于无限大铁板内 的磁场分布（H 线）14 -65两对上下放置传输线的磁场

分布AHJZ-JHH AHJZ-两对平行放置传输线的磁场分布15 -6513 -654.2.3 矢量磁位1. 磁矢位 A 的引出 v v v v 由 B = 0 → × A ≡ 0 → B = × AA 称磁矢位(Magnetic vector potential)，单位： wb/m（韦伯/米）。 注意： 矢量磁位是一个没有物理意义的辅助函数。另外，利用矢量磁位也可求磁通： v v v v Φ = ∫ B dS = ∫ × A dS =S S∫Cv v A dlv u μ Idl ' v dA= 0 4π Rv v dl ' = ad ' e Prz引入的矢量磁位目的：简化磁场的分析和计算。 例3.2-1 计算半径为 a 的小圆环电流 I 产生的磁感应强度 解：选择球坐标系，由于电流 u v u v 的对称性， B 和 A 与坐标 无 关，把场点放在 = 0 的平面 上，不失普遍性。 在 = 0的平面两边 + '、 ' 处zdAy = 2dA cos ' =μ0 Ia cos ' d ' 2π R μ0 Ia π cos ' Ay = d ' 2π ∫0 RθRar' Mv 引入库仑规范 A = 0 矢量磁位才被唯一地确定 。v v其中22. 磁矢位 A 的计算根据 B(r ) = 得4πR 2 = PN 2 + NM 2 PN = r cosθ2 2 ′xNe yμ0∫V' ×v v v μ J (r ') 面电流 A(r ) = 0 ∫ S dS ' 4π S ' RAHJZ-JHH AHJZ-v v v v μ J (r ') A(r ) = 0 ∫ dV ' V' 4π Rv v μ J (r ') dV ' = × 0 R 4π∫V'v v J (r ') dV ' R PrNM = a + (r sinθ ) 2a(r sinθ ) cos 'θR ar' MR = (r cosθ ) 2 + a 2 + (r sinθ ) 2 2a(r sinθ ) cos ' = r 1 －－体电流v v v μ I dl ' 线电流 A(r ) = 0 ∫ 4π l ' R16 -65同时取两个电流元，它们在场点 v u v 的矢量磁位 d A 都与各自的 dl ' 方向一致，叠加后的合成矢量只 v 有 e 方向的分量，所以 AHJZ-JHH AHJZ- xN ′e 17 -65y …… 此处隐藏：11916字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……