线性代数 李建平版本 复旦大学出版社 答案

低分数版本

线性代数（低分数版）

习题一

1.2.3（答案略）

4. (1) ∵ (奇数)

∴ 为偶数

故所求为

(2) ∵ （奇数）

∴所求为397281564

5.(1)∵ (偶数)

∴项前的符号位 （正号）

（2）∵

∴ 项前的符号位 （负号）

6. (1)

（2）

（3）原式=

7.8（答案略）

9. ∵

∴

10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得

（2）按第一列展开：

（3）

习题二

1.2.3.4.5（答案略）

6. 设 为与可交换的矩阵，则有

即

解之得

7. （1） ， 记为

，记为

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（2） 即

8（答案略）

9.

10.（1）

(2)

=

11. ∵

∴

反之 若 , 则 ,即

12. (1) 设 ∵ ∴

又∵ ∴

又

当 时，有

∴

（2）设 ， 则

∵ ∴

当 时，有

故 即

13.(1) ∵ ∴为对称矩阵

同理 也为对称矩阵

（2） ∵

∴ 为对称矩阵

又 ∵

∴ 为反对称矩阵

（3）∵

由（2）知，为对称矩阵，为反对称矩阵

故 可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。

14. （1）必要性：∵

∴

充分性： ∵

∴

(2) 必要性： ∵

∴

充分性：∵

∴

(3) 必要性 ：∵

∴

即

充分性： ∵

∴

15（答案略）

16. ∵

∴ 可逆。

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且

17. ∵

∴ 可逆，且

18.（答案略）

19. ∵,若 可逆，则

∴ 故 可逆，且

20.设 ，∵是对称矩阵 ∴ 记 ，则

，即为对称矩阵，又∵ , ∴ 为对称矩阵。

21.（1）设 ，则

（2） ∵ ∴

又 ∵

∴

于是 即

(3)∵ ∴

于是

(4) (注意加条件：可逆)

∵ 可逆 ∴

∴

22. ∵ ∴

23. 24.（答案略）

25. ∵ ∴

∴ 可逆，且

26. ∵ ∴

又 ∵, ,

∴

27（答案略）

28. ∵ ∴

又 ∵ ∴

故

29.

∵ ∴

∴

30.（答案略）

31.（1）

(2)

32.

33. (1) ∵

∴

(2) ∵

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∴

习题三

1.2.3.4（答案略）

5. ∵ 不能由线性表示

∴线性方程组 无解

不妨假设 能由线性表示，则存在一组数，使

从而

此式与方程组无解矛盾。

故 不能由的任何部分组线性表示

6. 依题意

所以

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即

7. ∵ ∴

令 ∵

∴ 可逆，于是

即

8．（答案略）

9.当 即当 或时，线性相关

否则 线性无关。

10 .（1）设

则

∴ 即

故 线性无关。

（2）设

则

∵ 线性无关 ∴ 解之得

11. 一方面，向量组能由基本单位向量组 线性表示；

另一方面，基本单位向量组由向量组线性表示为

∴ 向量组 与向量组等价。

12. 一方面 可由向量组线性表示；另一方面由于与有相同的秩，所以 就是向量组的一个极大无关组， 从而可以由线性表示.

故

13.设是向量组中任意一个向量

∵可由线性表示

又 ，∴ 线性无关

∴是的一个极大无关组。

14. ∵ 可由 线性表示，而也可由线性表示

∴ 从而

故 线性无关。

15.必要性：∵是一组维向量，若线性无关，显然任意维向量都可由线性表示。

充分性：∵ 任意维向量都可以由线性表示，∴基本单位向量组可由线性表示，故 ∴ 从而线性无关。

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习题四

1.2.3.4.5.6(答案略)

7. 设 ，由 得 即

可见，是方程组的两个解

又 ∵ ∴是方程组的两个线性无关的解。 于是，问题就转化为求解方程组 ∵

取 即为所求。

8、设所求方程组为 不妨设

依题设，

即

故所求方程组为

9、由题设可知为的解，又因为，所以的基础解为所含向量个数为． 故为的基础解系

于是的通解为

１０、的互解为

即

方程组有非零解．

显然满足方程 所以是所求非零的公共解．

11（答案略）

１２．由题设知，方程组的基础解系含一个解向量．

可见是方程组的基础解系

由知，知

即

又线性无关．

可见为它的一个解，

从而为的一个特解。

故的通解为

１３ （１）假设线性相关

线性无关

纯由向量组线性表示

从而是方程组的解 与已知矛盾

线性无关．

（２）设

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又线性无关

从而 故线性无关．

１４．设是的一个解，是的基础解系 由１３知

又的任一解都可由向量组线性表示． 的解向量组所含向量个数 １５．设是的一个特解

是的一个基础解系

则的任意解

即

令

显然是的个线性无关的解. 则 其中

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习题五 1（答案略） 2、设是的属于特征值的特征向量，则 即 解此方程组得或 3、设是的特征值，是的属于特征值的特征向量，则 即 故即或 4、 故 的特征值为. 5.由题设知为的特征值。 于是 又 6. 7. 存在可逆矩阵，使 于是 故B是幂等矩阵. 8.令 依题设 9.由，得（二重）， 可见方程的基础解系含2个解向量， 从而 又 10（答案略） 11.（1）设 原矩阵不是正交矩阵. （2） 令 所以原矩阵为正交矩阵. 12(答案略) 13. 设为与正交的向量.

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则 即 ，此方程组的通解为

（1） A的属于特征值的特征向量为

（2）记 则

又