周期函数求法以及性质

周期函数求法以及性质

如何求三角函数的周期

三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．

1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期

例1 求下列函数的周期 (1) y sin2x , (2) y tan2x． 3

(1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T，对于函数定义域内的每一个x值都能使sin2(x T)＝sin2x成立，同时考虑到正弦函数y sinx的周期是2 ． 解：∵ sin2x sin(2x 2 ) sin2(x ), 即 sin2(x ) sin2x．

∴ 当自变量由x增加到x 时，函数值重复出现，因此y sin2x的周期是 ．

(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T，对于函数定义域内的每一个x值都能使 tan

是 ． 22x(x T) tan成立，同时考虑到正切函数y tanx的周期33

2x2x23232x tan( ) tan(x ), 即tan(x ) tan． 3332323

2x3∴ 函数y tan的周期是 ． 32

注意：1、根据周期函数的定义，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，

1如f(2x T) f(2x),周期不是T，而是T； 2、是定义域内“f(x T) f(x)”2解：∵ tan

的恒等式，即对于自变量x取定义域内的每个值时，上式都成立．

2、根据公式求周期

对于函数y Asin( x ) B或y Acos( x ) B的周期公式是T 2 ， | |

x ) B或y cot( x ) B的周期公式是T 对于函数y Atan(

例3 求函数y 3sin(

解： T ． | |3 x )的周期 262 4 ． 33

2

3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期

例4 求函数y 2sinxcosx 2sin2x的周期 解：y 23sinxcosx 2sin2x sin2x cos2x 1

周期函数求法以及性质

2(

∴ T 1 sin2x cos2x) 1 2sin(2x ) 1 2262 ． 2

xxx(sin cos),求周期 333

xx12x12x2x sincos (1 cos) sin 解：∵f(x) sin 3332323 例5 已知函数f(x) sin

∴ T 112x2x122x (sin cos) ) 223322342 3 ． 2

3

4、遇到绝对值时，可利用公式 |a| a2, 化去绝对值符号再求周期

例6 求函数 y |cosx|的周期

解：∵ y |cosx| cosx

∴ T 21 cos2x 22 ． 2

例7 求函数y |sinx| |cosx|的周期

解：∵y |sinx| |cosx|

|sinx| |cosx|2 |sin2x| sin22x 1 cos4x1 1 (1 cos4x) 22

2 ． 42∴ 函数y |sinx| |cosx|的最小正周期 T

5、若函数y f1(x) f2(x) fk(x)，且f1(x),f2(x), ,fk(x)，都是周期函数，且最小正周期分别为T1,T2, Tk，如果找到一个正常数T, 使T n1T1 n2T2 nkTk， (n1,n2, ,nk均为正整数且互质)，则T就是y f1(x) f2(x) fk(x)的最小正周期． 例8 求函数y sinx cos1x的周期 2

1x的最小正周期是T2 4 ． 2解：∵ sinx的最小正周期是T1 2 ， cos

∴ 函数y的周期T n1T1 n2T2 ，把T1，T2代入得 2 n1 4 n2，即n1 2n2，

周期函数求法以及性质

因为n1,n2为正整数且互质， 所以 n1 2, n 2 1．

1x的周期T n1T1 2 2 4 ． 2

23例9 求函数y sinx cosx的周期 34

232 2 8 解： ∵ six的最小正周期是T1 ， 3 ，cosx的最小正周期是T2 343

34

8 n2 ，9n1 8n2 (n1,n2为正整数且互质), 由n1T1 n2T2， 3 n1 3 函数y sinx cos

得 n1 8, n 2 9．

所以 函数y sin23x cosx的周期是T n1T1 8 3 24 ． 34

周期函数求法以及性质

函数的周期性

--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，

本讲重点复习一般函数的周期性问题

一.明确复习目标

1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函

数的周期性处理一些简单问题。

二、建构知识网络

1.函数的周期性定义：

若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 恒成立，则f(x)

叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

周期函数定义域必是无界的

2.若T是周期，则k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最

小正周期。

周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C；

3.若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a

为函数f(x)的周期。

（若f(x)满足f(a+x)=f(a－x)则f(x)的图象以x=a为图象的对

称轴，应注意二者的区别)

4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（a<b），则2（b-a）

周期函数求法以及性质

是f（x）的一个周期

5.若函数f(x)图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（a<b），

则2（b-a）是f（x）的一个周期。(证一证)

6.若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）

（a<b）,则4（b-a）是f（x）的周期。

举例:y=sinx,等.

三.双基题目练练手

1.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(1)=0，则方

程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是

（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

2.若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时

f(x)=x+1，则f(π)的值为

（ ）

A．π-5 B.5-π C.4-π D. π-4

3. 是偶函数，且 为奇函数，则f(1992)=

4.设存在常数p>0,使 ，则 的一个周期是 ，f(px)的一个

正周期是 ；

5.数列 中

简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0

周期函数求法以及性质

是对称轴，则周期是4；4、 ， ；5、 ；由已知 ，周期为

6。

四.经典例题做一做

【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，

f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间

上问题转化为已知解析式的区间上。）

∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1),

∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2,是偶函数

∴ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.

x∈(1,2).

解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2)

如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数

∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1.

又周期为2， x∈(1,2)时x-2∈（-1，0）

∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.

提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上

向已知的(0,1)上转化;

2.用好数形结合,对解题很有帮助.

【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若

f(0)=2008,求 f(2008)的值。

周期函数求法以及性质

解：

周期为8，

法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。

方法提炼：

1.求周期只需要弄出一个常数;

2.注意既得关系式的连续使用.

【例3】若函数 在R上是奇函数，且在 上是增函数，且 .

①求 的周期；

②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1

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