混沌学研究对数学发展的影响

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非线性科学是当今世界科学研究的热点，已涉足于自然科学、人文科学和社会科学诸多领域，形成一批用以解释世界中的非线性现象新兴理论。许多研究表明，社会、经济、生态等动态变化过程适宜用非线性复杂系统来描述。其中20世纪60年代兴起的混沌理论是公认的“复杂性科学”的重要成果之一。它的兴起极大地丰富了人们对一些非线性现象的理解，促进了一些学科的发展和形成。目前，混沌理论已被用于研究一些科学领域存在的问题，并有成果问世。如“论科学发展的混沌模式”[1]、“混沌理论与战略观”[2]、“关于混沌态与反混沌态的思考”[3]等。数学作为自然科学的基础学科一向受人关注。本文从混沌理论的角度探讨了其对数学发展的重大意义。

一、 混沌学研究概况

自然界中的万物都遵循一定的规律。传统观点认为，只要掌握了这些规律就可以准确的预测事物的未来。例如，天文学家根据天体运行的牛顿定律就能预见未来时间里发生日月蚀的具体时刻。然而，自然界中也存在着许多事物，人们根本不能预见它们未来的运动变化。

比如，空中飘动的气球，气球本身和作用于气球的空气流同样也都受牛顿动力学的支配，但无人能够准确地预测它在不久将来的位置。这种现象根据确定论代表人物法国数学家拉普拉斯的观点，其原因是我们不能准确知晓气球所在的初始位置和速度及作用于气球的空气流的方向和速度。但若从此观点看这种现象，人们不觉会认为自然界的一切随机不确定现象都源于不可知因素作用的结果，可能就要产生错误。1963年，美国气象学家洛伦兹发现的“蝴蝶效应”便是其中典型一例。洛伦兹在一个由三维一阶微分方程组描述的气象预报模型中，发现该确定的数学模型产生的结果不是趋于稳定平衡的，也不是趋于某种周期性变化，而是貌似随机的。近似的初始条件并不能获得近似的结果，更甚者，两者的差异随时间增大而越大。但这种现象并不是由于计算机的精度或可靠性等原因造成的。之后，这种类似现象被大量发现，引起了众多学者的关注。1975年，美国数学家约克和华人学者李天岩将“蝴蝶效应”之类的现象称之为“混沌”[4]。对混沌现象的研究加深了人们对非线性现象的理解，深化了对混沌现象本质的认识。例如，法国数学家蒙德

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尔布罗和美国物理学家费根鲍姆等人从复杂的混沌现象背后发现了具有精细结构的序—分形和费根鲍姆常数[5]δ=4.66920L，α=2.502907850L。

虽然到目前为止，对混沌尚未有一个完满的定义，但混沌学的研究的确产生了一些重大理论，揭示了混沌现象的一些内在本质。许多学者对混沌都有专门论述，如苗东升的《系统科学精要》；詹姆斯·格莱克的《混沌：开创新科学》；林夏水的《分形的哲学漫步》；苗东升、刘华杰的《浑沌学纵横论》；洛伦兹的《混沌的本质》；陈忠的《混沌运动的哲学启示》；郝宁湘的《混沌学及其哲学意义》等均对混沌的本质进行了论述，并产生了一些深刻的认识，基本观点如下：(一) 混沌具有对初始条件敏感依赖性；(二) 混沌是一种奇异吸引子；(三) 混沌具有分形几何结构；(四) 混沌具有内随机性和非周期性；(五) 混沌具有自身的普适性和新的自然常数。

当然，随着混沌的研究，必将对其认识不断深化，有关理论会不断丰富。另一方面，人们也在不断探寻混沌在实际生活中的应用，极大地丰富了人们对客观现象的理解。混沌理论的建立和完善离不开数学强有力的支持，这一点在有关混沌学的著作和论文中都能找到实证。但是，混沌学研究从另一个层面又极大地影响数学的发展，而这一点更能体现混沌学研究在基础理论方面的重大意义。鉴于此，本文将着重论述混沌学在以下几方面对数学发展的影响。

二、 混沌学研究在数学发展上的重要影响

混沌学与数学发展紧密相关，数学为混沌学的理论建立提供了有利的工具；同时，混沌学也有力地推动了数学的极大发展，其意义是极大的，现仅就以下四个方面进行论述。

（一）混沌学研究拓宽了数学发展的研究对象 数学研究对象是数学发展的基础。数学发展

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的阶段性在于不同阶段研究对象的特殊性，研究不同阶段上的对象将产生与其相一致的内容。例如，由于计数的需要产生了算术和数论；测量的需要产生了几何、实数、微积分；构形的需要产生了对称、群论；估计的需要产生了概率论、测度论、统计学等等。现代数学是在欧氏几何和微积分的基础上发展起来的，微分是分析数学的基础。在任何一本微积分著作中，关于不考虑可微性的函数的内容只占很少一部分，而且只是为讨论函数的可微性做准备的。几乎处处不光滑的连续函数不属于数学合法的研究对象。19世纪创立的罗巴切夫斯基几何和黎曼几何虽然否定了欧氏空间的平直性，建立了非欧几何，导致几何学的重大革命，并为物理学革命提供了重要数学工具。但它们研究的仍然是几乎处处光滑的规则几何对象。由于混沌系统具有对初始条件的敏感依赖性，即微小的变化都可以引起大的震荡，这从微积分、极限的定义来看是不可思议的。故而，混沌学的研究必须取消微分概念，对数学思想和方法论的冲击之巨大是可想而知的。混沌学研究否定了光滑性、规则性，引起了空间概念的又一次变革，并由此拓宽了数学的研究对象。高安秀树认为：“否定微分，这在历史上恐怕也是划时代的”[6]。从此我们可以看到，混沌学研究将开创数学发展的新阶段。考察20世纪数学的总体发展，布尔巴基学派的工作不可不提。其成员让·迪多内在《纯粹数学的当前趋势》一文中，总结现代数学的个别趋向时，概括出十三个方面，其中与混沌有关的占四个。保尔·哈莫斯在《美国数学月刊》上的长篇报告，指出混沌学是一个新的数学分支[7]。过去一些病态函数如维尔斯特拉斯的处处连续又处处不可微的函数，皮亚诺的可以填满有限平面区域而具有无限长度的曲线，康托尔尘粉等，这些在当时只是作为纯粹数学在逻辑上必然出现的现象而被研究，排除于数学研究的合法对象之外。由于混沌学的研究，使它们成为数学研究的合法

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对象。事实上发现它们也是现实世界的一种几何形式，诸如海岸线长度、晶体的生长等都可能体现出这种几何结构。

（二）混沌学的研究突破了数学中传统维数的观念

空间观念是自然观念的重要组成部分，而空间观念又通过维数观念表现出来。传统几何学把自然界客观事物抽象为点、线、面、体等基本元素。它研究的图形具有规整性和维数的整数性特点。在19世纪以前，人们基于牛顿的绝对时空观对维数的定义是：空间的维数等于在这个空间中“确定一个点所需要的坐标个数”[8]。这样定义的维数即是我们常说的拓扑维数。由此定义知，现实空间应是三维的。可是在爱因斯坦和闵科夫斯基的共同努力下一起提出了“四维连续统”的观念，指出现实世界不是三维的，而是四维的。此后不久，克莱因、克卢扎等人从宇宙学的角度对世界的维数作了进一步探讨，提出世界不是四维而是十一维的。其后又产生了超弦理论，它把真实空间的维数提高到四十维以上。[5]951844年，格拉斯曼用纯粹抽象的数学语言建立了n维空间概念，又进一步发展为无穷空间。然而这些理论虽然使维数增加了，但仍保持了“整数”的特征。但是混沌系统具有奇怪吸引子，这种吸引子具有分形几何结构，其维数是分数维的。如洛伦兹吸引子的维数是2.06，埃农吸引子的维数是1.26等。这些是现实世界的一种客观反映，但原有的维数概念已不适用。所以，不得不 …… 此处隐藏：6158字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……