2013高考数学一轮复习 5-2等差数列及其前n项和课件 文

第2讲 等差数列及其前n项和

【2013年高考会这样考】 1.考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题. 2.考查等差数列的性质及综合应用. 【复习指导】 1.对高考常考的等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和 公式等概念要记熟记准，并能熟练应用. 2.掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法. 3.平常学习过程中，能通过题目强化对基础知识的认识、理 解和应用，以便解决与其他章节有联系的题目.

基础梳理 1.等差数列的定义 如果一个数 列从第 2 项起，每 一项与 它 的前一项的 差等 于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫 做等差数列的 公差 ，通常用字母 d 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 an= a1+(n-1)d . 表示.

3.等差中项 a+b 如果A= 2 ,那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am+ (n-m)d (n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且m+n=p+q, 则 am+an=ap+aq (m,n,p,q∈N*).

(3)若{an}是等差数列，公差为d,则ak,ak+m,ak+2m, (k,m ∈N*)是公差为 md 的等差数列.

(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m, 也是等差数列. (5)S2n-1=(2n-1)an. nd (6)若n为偶数，则S偶-S奇= ; 2 若n为奇数，则S奇-S偶=a中(中间项). 5.等差数列的前n项和公式 n a1+an 若已知首项a1和末项an,则Sn= ,或等差数列{an}的首 2 n n-1 项是a1,公差是d,则其前n项和公式为Sn=na1+ 2 d.

6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 d d 2 Sn= 2 n + a1-2 n,数列{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2 +Bn(A,B为常数). 7.最值问题 在等差数列{an}中，a1>0,d<0,则Sn存在最大值 ，若a1<0, d>0,则Sn存在 最小值 .

一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+ +an,① Sn=an+an-1+ +a1,② n a1+an ①+②得：Sn= . 2

四种方法 等差数列的判断方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常 数； (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立； (3)通项公式法：验证an=pn+q; (4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn. 注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证 明等差数列.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2 =1,a3=3,则S4=( ).

A.12 B.10 C.8 D.6 解析 由a2=1,a3=3,得：d=a3-a2=2. ∴a1=a2-d=1-2=-1, a4=a3+d=3+2=5, ∴S4=a1+a2+a3+a4=8. 答案 C

2.已知{an}为等差数列，a2+a8=12,则a5等于( A.4 B.5 C.6 D.7

解析 a2+a8=2a5,∴a5=6. 答案 C

).

3.设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn,若a6=2且S5= 30,则S8等于( ).

A.31 B.32 C.33 D.34 26 a +5d=2, a1= 3 , 1 解析 由已知可得 解得 5a1+10d=30, d=-4. 3 8×7 ∴S8=8a1+ 2 d=32. 答案 B

4.(2012· 杭州质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2= 3,a6=11,则S7等于( ).

A.13 B.35 C.49 D.63 7 a1+a7 解析 ∵a1+a7=a2+a6=3+11=14,∴S7= =49. 2 答案 C

5.在等差数列{an}中，a3=7,a5=a2+6,则a6=________. 解析 设公差为d.则a5-a2=3d=6, ∴a6=a3+3d=7+6=13. 答案 13

考向一 等差数列基本量的计算 【例 1】 (2011· 福建)在等差数列{an}中，a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. [审题视点] 第(1)问，求公差 d; 第(2)问，由(1)求 Sn,列方程可求 k.

解 (1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d. 由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3. 解得d=-2.从而，an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知an=3-2n. n[1+ 3-2n ] 所以Sn= =2n-n2. 2 进而由Sk=-35可得2k-k2=-35. 即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5. 又k∈N*,故k=7为所求.

等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三 可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利 用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以.体现了用方程思 想解决问题的方法.