九年级数学上册第四章相似三角形4.5相似三角形的性质及其应用第1

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. 4.5__相似三角形的性质及其应用__

第1课时 相似三角形的性质

1．已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 对应的角平分线之比为( B )

A ．2∶1

B ．1∶2

C ．1∶4

D ．1∶12 2．[xx·兰州

]已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为34

，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为( A )

A. 34

B. 43

C. 916

D. 169

3．如图4－5－1，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，OP ，OQ 分别为∠DOE ，∠BOC 的角平分线，则OQ OP

＝__2__．

图4－5－1

4．两个相似三角形的相似比为2∶5，已知其中一个三角形的一条中线长为10，那么另一个三角形对应的中线长为__4或25__．

【解析】 ∵相似三角形的相似比为2∶5，其中一个三角形的一条中线长为10，而这条中线可能是小三角形的，也可能是大三角形的，

∴另一个三角形对应的中线长可能为4，也可能为25.

5．如图4－5－2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD ，A ′D ′分别是边BC ，B ′C ′

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.

上的中线，求证：AD A ′D ′＝k .

图4－5－2

证明：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，

∴AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝AC A ′C ′

＝k ，∠B ＝∠B ′. 又∵AD ，A ′D ′分别是边BC ，B ′C ′上的中线，

∴BD B ′D ′＝12BC 1

2B ′C ′＝BC B ′C ′＝AB

A ′

B ′. 又∵∠B ＝∠B ′，∴△ABD ∽△A ′B ′D ′，

∴AD A ′D ′＝AB A ′B ′

＝k . 6．如图4－5－3所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM ，EN 分别是斜边AB ，DF 上的中线，已知AC ＝9 cm ，CB ＝12 cm ，DE ＝3 cm.

(1)求CM 和EN 的长；

(2)你发现CM EN

的值与相似比有什么关系？得到什么结论？

图4－5－3

解： (1)在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋CB 2＝92＋122＝15，

∵CM 是斜边AB 的中线，∴CM ＝12

AB ＝7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ，

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. ∴DE AC ＝DF AB ，即39＝13＝DF 15

，∴DF ＝5， ∵EN 为斜边DF 上的中线，

∴EN ＝12

DF ＝2.5； (2)∵CM EN ＝7.52.5＝31，相似比为AC DE ＝93＝31

， ∴相似三角形对应中线的长的比值等于相似比．

7．[xx·新泰二模]如图4－5－4，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE .

图4－5－4

求证：(1)△DEF ∽△BDE ；

(2)DG ·DF ＝DB ·EF .

证明：(1)∵AB ＝AC ，

∴∠ABC ＝∠C ，

∵DE ∥BC ，

∴∠ABC ＋∠BDE ＝180°，

∠C ＋∠CED ＝180°，

∴∠BDE ＝∠CED ，

∵∠EDF ＝∠ABE ，

∴△DEF ∽△BDE ；

(2)由△DEF ∽△BDE ，得

DE BD ＝EF DE

， ∴DE 2＝DB ·EF ，

由△DEF ∽△BDE ，得∠BED ＝∠DFE .

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. ∵∠GDE ＝∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF ，

∴DG DE ＝DE DF ，∴

DE 2＝DG ·DF ， ∴DG ·DF ＝DB ·EF .

8．如图4－5－5，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC ，BC ＝7，AE ＝4，求DE 的长．

图4－5－5

解：∵DE ∥BC ，∴∠DBC ＝∠EDB .

∵BD 平分∠ABC ，

∴∠ABD ＝∠DBC ，

∴∠ABD ＝∠EDB ，

∴BE ＝DE .

∵DE ∥BC ，

∴△AED ∽△ABC ，

∴AE AB ＝DE CB

. 设DE ＝BE ＝x ，则AB ＝4＋x ，

∵BC ＝7，AE ＝4，

∴44＋x ＝x 7

，即x 2＋4x －28＝0， 解得x 1＝－2＋42，x 2＝－2－42(不合题意，舍去)，

∴DE ＝42－2.

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. 9．如图4－5－6，在△ABC 中，点D 在AC 上，且AD ∶DC ＝1∶2，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于点F .

求证：BF ∶FC ＝1∶3.

图4－5－6 第9题答图

证明：∵AD ∶DC ＝1∶2，∴AD ∶AC ＝1∶3.

如答图，作DG ∥AF 交BC 于点G ，则

AD AC ＝FG FC ＝13，BE ED ＝BF FG . ∵E 是BD 的中点，∴BE ＝ED ，

∴BF ＝FG ，∴BF FC ＝13

，即BF ∶FC ＝1∶3. 10．[xx·合肥模拟]如图4－5－7，△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE ＝90°，连结BF .

(1)求证：△CAE ∽△CBF ；

图4－5－7

(2)若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．

解：(1)证明：∵△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，

∴CA CB ＝CE CF ＝2，∠ACB ＝∠ECF ＝45°， ∴∠ACE ＝∠BCF ，

∴△CAE ∽△CBF ；

(2)∵△CAE ∽△CBF ，

∴∠CAE ＝∠CBF ，AE BF ＝AC BC ＝2，

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. 又∵AE ＝2，∴2BF

＝2，∴BF ＝ 2.

又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°，

∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，∴∠EBF ＝90°，

在Rt △EBF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2＝12＋(2)2＝3，∴EF ＝3，

∵CE 2＝2EF 2＝6，

∴CE ＝ 6.

11．如图4－5－8，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点．

(1)求证：AC 2＝AB ·AD ；

(2)求证：CE ∥AD ；

(3)若AD ＝4，AB ＝6，求AC AF

的值．

图4－5－8

解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB ，

∴∠DAC ＝∠CAB .

又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB ，

∴AD AC ＝AC AB

，∴AC 2＝AB ·AD ； (2)证明：∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°，

∴CE ＝12

AB ＝AE ，∴∠EAC ＝∠ECA . ∵AC 平分∠DAB ，∴∠CAD ＝∠CAB ，

∴∠CAD ＝∠ECA ，∴CE ∥AD ；

(3)∵CE ∥AD ，

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. ∴∠DAF ＝∠ECF ，∠ADF ＝∠CEF ，

∴△AFD ∽△CFE

，∴AD CE ＝AF CF . ∵CE ＝12

AB ＝12

×6＝3，AD ＝4， 由AD CE ＝AF CF ，得43＝AF CF ，∴AF AC ＝47，∴AC

AF ＝74

.

12．如图4－5－9，在△ABC 中，D 是BC 边上的点(不与点B ，C 重合)，连结AD . 问题引入：

(1)如图①，当D 是BC 边上的中点时，S △ABD ∶S △ABC ＝__1∶2__；当D 是BC 边上任意一点时，S △ABD ∶S △ABC ＝__BD ∶BC __(用图中已有线段表示)；

探索研究：

(2)如图②，在△ABC 中，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连结BO ，CO ，试猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由；

拓展应用：

(3)如图③，O 是线段AD 上一点(不与点A ，D 重合)，连结BO 并延长交AC 于点F ，连结

CO 并延长交AB 于点E .试猜想OD AD ＋OE CE ＋OF BF

的值，并说明理由．

图4－5－9

解：(2)猜想S △BOC 与S △ABC 之比应该等于OD ∶AD .

理由：如答图，分别过点O ，A 作BC 的垂线OE ，AF ，垂足为E ，F .

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. 第12题答图

∴OE ∥AF ，

∴△ODE ∽△ADF ，

∴OD ∶AD ＝OE ∶AF .

又∵S △BOC ＝1 …… 此处隐藏：2149字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……