薄透镜的成像公式和放大率

§1-4

薄透镜的成像公式和放大率

一、薄透镜(thin lens)成像 薄透镜( ) 薄透镜是最简单的共轴球面系统， 薄透镜是最简单的共轴球面系统，它由 两个单球面组成。 两个单球面组成。两球面之间的间距 d 比 小很多。 两折射球面的曲率半径 r1、 r2 小很多。 当 d 0时，两球面顶点重合为一点， 时 两球面顶点重合为一点， 称为光心 光心( 称为光心(optical center) ) 薄透镜分为凸透镜和凹透镜。 薄透镜分为凸透镜和凹透镜。 凸透镜的中央厚度大于边缘部分， 凸透镜的中央厚度大于边缘部分，有 双凸、平凸、弯凸； 双凸、平凸、弯凸；凹透镜的边缘厚度大 于中央部分，有双凹、平凹、弯凹。 于中央部分，有双凹、平凹、弯凹。

各种薄透镜

对第一折射面′ ′ n1 n1 n1 n1 = = Φ1 P′ P1 r1 1

对第二折射面′ ′ n2 n2 n2 n2 = = Φ2 P2′ P 2 r2

P1′ = P2

′ n1 = n 2n′ n =Φ P′ P

薄透镜成像公式′ n2 n1 = Φ1 + Φ2 = Φ P′ P1 2

n′ n =Φ P′ Pn′ 当 → ∞时 P′ = f ′ = P , f´为薄透镜的像方焦距 为薄透镜的像方焦距 Φ n 当 ′ →∞时 P = f = P , Φ f 为薄透镜的物方焦距

薄透镜的高斯公式： 薄透镜的高斯公式：

f′ f + =1 P P

薄透镜的垂轴放大率和角放大率h′ nP′ β= = h n′P

µ′ n 1 γ= = µ n′ β

若薄透镜处于空气中， 若薄透镜处于空气中，则 n = n´= 1,设薄 透镜材料的折射率为 nL,两球面的曲率半径 为 r1 、r2,则可得′ n1 n1 nL n = = Φ1 r1 r1 ′ n2 n2 n′ nL = = Φ2 r2 r2

Φ = (nL 1)(1/ r1 1/ r2)

透镜制造者公式( 透镜制造者公式(lens-maker,s formula) )1 f ′ = f = (nL 1)(1/ r1 1/ r2)

1 1 1 1 (nL 1 d ) = = (nL 1 )[ + ] f′ f r1 r2 nr1r2

薄透镜的高斯公式： 薄透镜的高斯公式：

f′ f + =1 P′ P

1 1 1 = P′ P f′

二、薄透镜成像作图法 根据焦点和光心的特征， 根据焦点和光心的特征，对于一个发光物 点可找到三条典型光线 三条典型光线。 点可找到三条典型光线。 (1)过物方焦点的入射光，其折射光线 )过物方焦点的入射光， 平行于主光轴。 平行于主光轴。 (2)平行于主光轴的入射光，其折射光线 )平行于主光轴的入射光， 过像方焦点。 过像方焦点。 (3)过光心的入射光线，其折射光线不 )过光心的入射光线， 发生偏折。 发生偏折。 薄透镜可近似为许多不同顶角的棱镜组成， 薄透镜可近似为许多不同顶角的棱镜组成， 由薄透镜两边向中心，棱镜顶角越小， 由薄透镜两边向中心，棱镜顶角越小，中心部 分相当于顶角为零，相当于一块平面平行板。 分相当于顶角为零，相当于一块平面平行板。

作图法： 作图法：

(1)求某一入射光线时，首先看是否为三条 )求某一入射光线时， 典型光线中的一条。 典型光线中的一条。 (2)若不是典型光线，则添加一条辅助光线 )若不是典型光线， (3)辅助光线应是典型光线，且与入射光线 )辅助光线应是典型光线， 有关。 有关。

若入射的平行光线不平行于光轴， 若入射的平行光线不平行于光轴，则经 薄透镜后会会聚于像方焦平面上一点。 薄透镜后会会聚于像方焦平面上一点。 从物方焦平面上一点发出的所有光线， 从物方焦平面上一点发出的所有光线， 经薄透镜后也出射平行光， 经薄透镜后也出射平行光，但它们不平行于 光轴， 光轴，而平行于过焦平面上该点与光心的连 线。

F´

F

例题： 例题：已知入射光线求出射光线S M F O F´ Q´ M´ N F´ M N Q O F

已知物点求像点N M O S F F´ S´ S F´ M S´ N O

§1-5

共轴球面系统

一、共轴球面系统的逐次成像

个折射球面组成一共轴球面系统， 由 k 个折射球面组成一共轴球面系统， 物体 SQ 经过这个光学系统所成的像为 SKQK

个球面， 对应 k 个球面，可得 k 个物像距公式′ ′ n1 n1 n1 n1 = P′ P1 r1 1

LLL

′ n′ nk nk nk k = Pk′ Pk rk

两相邻球面顶点的距离为d 12 = P′ P 2 1d 23 = P2′ P 3k

dk 1, k = Pk′ 1 Pkh1′ = h 2′ h2 = h3

垂轴放大率为 β = h ′ / h 1

′ ′ ′ ′ hk h1′h 2 h3 hk β = = L = β 1β 2 β 3 L βk h 1 h 1h 2 h 3 hk

系统总的垂轴放大率为各单球面的垂 轴放大率之乘积。 轴放大率之乘积。′ h′h2h3 ′ ′ ′ hk hk 1 β= = L = β1β 2β 3Lβk h1 h1h2h3 hk

拉格朗日—亥姆霍兹恒等式 拉格朗日 亥姆霍兹恒等式

′ ′ ′ ′ ′ n1h1µ1 = n1h1′µ1 = n2 h2 µ 2 = L = nk hk µ k例：惠更斯目镜 组成， 由两个凸透镜 L1 L2组成，用逐次成像 法求像位置。 法求像位置。

已知： 已知： f1′ = 3a, f2′ = a, d = 2a 物点 Q 位于L1前a处 处 解： - P1= a ,代入第一个透镜的高斯公式3a 3a + =1 得 P′ a 1 3 P′ = a = 1.5a 1 2

同理对于第二个透镜， 同理对于第二个透镜，有a a + =1 P′ ( 3/ 2)a 2a 2

P′ = 7a / 5 =1.4a 2

例题：凸透镜焦距为 厘米 厘米， 例题：凸透镜焦距为10厘米，凹透镜焦距 厘米， 厘米。 为4厘米，两个透镜相距 厘米。已知物在凸 厘米 两个透镜相距12厘米 透镜左方20厘米处 厘米处， 透镜左方 厘米处，计算像的位置和横向放大 率并作图。 率并作图。Q Q´´ F2´ O2 P F1 O1 P´´ Q´ P´

解：利用高斯公式两次成像

, 成像： 1 第一次 PQ成像： P = 20cm f1′ =10cm

f′ f + =1 P′ P

1 1 1 = P′ P1 f1′ 1P′ β1 = 1 = 1 P 1

得

P′ = 20cm 1

成像： 第二次 P´Q

´成像：P = 20 12 = 8cm 虚 ) 2 = 4cm ( 物 , f′ 21 1 1 = ′ P′ P2 f2 2P′ β2 = 2 = 1 P 2

得 P′ = 8cm(虚 ) 象 2∴β = β1β2 =1

二、共轴系统的基点和基面 1841年高斯提出共轴系统的一般理论： 年高斯提出共轴系统的一般理论： 年高斯提出共轴系统的一般理论 在理想共轴系统中， 在理想共轴系统中，物方的任一点都和像方的 一点共轭。同样， 一点共轭。同样，相应于物方的每一条直线或 每一个平面，在像方都应有一条共轭直线或一 每一个平面， 个共轭平面。 个共轭平面。 这样共轴系统就成了点与点、 这样共轴系统就成了点与点、直线与直 线以及平面与平面之间的共轭关系的纯几何理 利用基点与基面， 论。利用基点与基面，可描述共轴系统的基本 光学特性。 光学特性。