第三讲 lingo在数模中的应用

第二讲 LINGO在建模中的应用左黎明 limingzuo@http://doc.guandang.net

优化问题的一般形式优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件

min s.t.决策变量

f ( x) hi ( x) 0, i 1,...,m g j ( x ) 0, j 1,...,l x D n

目标函数 约 束 条 件

2014-10-4

当最优解在可行域边界上取得时 不能用无约束优化方法求解

约束优化的分类 mins.t.

f ( x) hi ( x) 0, i 1,...,m g j ( x ) 0, j 1,...,l x D n

连 续 优 化 离 散 优 化

线性规划(LP) 目标和约束均为线性函数 非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数 二次规划(QP) 目标为二次函数、约束为线性 整数规划(IP) 决策变量(部分)为整数 整数线性规划(ILP) 整数非线性规划(INLP) 0-1规划 整数决策变量只取0或1

实例 钢管下料客户需求

原料钢管:每根19米 6米20根 8米15根节省的标准是什么？ 5米10根

4米50根

问题1. 如何下料最节省 ? 问题2. 客户增加需求：

由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本， 规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？

钢管下料

切割模式

按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。 4米 1根 4米 1根 6 米 1根 6 米 1根 8米 1根 6米 1根 余料1米 余料3米 余料3米

8米 1根

8米 1根

合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸

合理切割模式 模式 4米钢管根数 6米钢管根数 8米钢管根数 余料(米)1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 1 0 0 0 1 0 2 1 3 0 0 0 1 0 1 0 2 3 1 3 3 1 1 3

钢管下料问题1

为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式 切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小

2. 所用原料钢管总根数最少

决策变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7)目标1(总余量) Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7 模式 4米根数 6米根数 8米根数 余料1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 1 0 0 50 0 1 0 2 1 3 0 20 0 0 1 0 1 0 2 15 3 1 3 3 1 1 3

需求 约束

满足需求

4 x1 3x2 2 x3 x4 x5 50 整数约束： x2 2 x4 x5 3x6 20 xi 为整数 x3 x5 2 x7 15

钢管下料问题1当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标 目标2(总根数) Min Z 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x74 x1 3x2 2 x3 x4 x5 50

约束条件不变

x2 2 x4 x5 3x6 20

x3 x5 2 x7 15

xi 为整数

以上两个模型均是一般整数线性规划

钢管下料问题2增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。

现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米 15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。 对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式决策变量

xi ~按第i 种模式

切割的原料钢管根数(i=1,2,3)r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下，每根原料钢管 生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量

钢管下料问题2目标函数(总根数)

Min x1 x2 x3模式合理：每根 余料不超过3米

约束条件满足需求

r21 x1 r22 x2 r23 x3 10

r11 x1 r12 x2 r13 x3 50

16 4r11 5r21 6r31 8r41 19

r31 x1 r32 x2 r33 x3 20r41 x1 r42 x2 r43 x3 15

16 4r12 5r22 6r32 8r42 1916 4r13 5r23 6r33 8r43 19

整数约束： xi ,r1i, r2i, r3i, r4i (i=1,2,3)为整数 整数非线性规划

整数规划问题一般形式min nx Z

f ( x) hi ( x) 0, i 1,..., m g j ( x) 0, j 1,..., l

s.t.分 类

整数线性规划(ILP) 目标和约束均为线性函数 整数非线性规划(INLP) 目标或约束中存在非线性函数 纯(全)整数规划(PIP) 决策变量均为整数 混合整数规划(MIP) 决策变量有整数，也有实数

2014-10-4 0-1规划

决策变量只取0或1

钢管下料(问题1)目标1(总余量) Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7 4 x1 3x2 2 x3 x4 x5 50x2 2 x4 x5 3x6 20

x3 x5 2 x7 15xi 为整数

最优解：x2=12, x5=15, 其余为0; 最优值：27按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米

钢管下料(问题1)目标2(总根数) Min Z 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 最优解：x2=15, x5=5, x7=5, 其余为0; 最优值：25。按模式2切割15根， 按模式5切割5根， 按模式7切割5根， 共25根，余料35米4 x1 3x2 2 x3 x4 x5 50

x2 2 x4 x5 3x6 20

x3 x5 2 x7 15

xi 为整数 与目标1的结果“共切割27根， 余料27米” 相比: 虽余料增加8米，但减少了2根

当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标

钢管下料(问题2)目标函数(总根数)

Min x1 x2 x3

r11 x1 r12 x2 r13 x3 50r21 x1 r22 x2 r23 x3 10

16 4r11 5r21 6r31 8r41 19

16 4r12 5r22 6r32 8r42 1916 4r13 5r23 6r33 8r43 19xi ,r1i, r2i, r3i, r4i (i=1,2,3)为整数

r31 x1 r32 x2 r33 x3 20r41 x1 r42 x2 r43 x3 15

钢管下料(问题2)增加约束，缩小可行域，便于求解

需求：4米50根，5米10 根，6米20根，8米15根

每根原料钢管长19米

4 50 5 10 6 20 8 15 26 原料钢管总根数下界： 19

特殊生产计划：对每根原料钢管 模式1:切割成4根4米钢管，需13根； 模式2:切割成1根5米和2根6米钢管，需10根； 模式3:切割成2根8米钢管，需8根。 原料钢管总根数上界：31 26 x1 x2 x3 31 模式排列顺序可任定

x1 x2 x3

钢管下料(问题2)Local optimal

solution found at iteration: 12211 Objective value: 28.00000 Variable Value Reduced Cost X1 10.00000 0.000000 X2 10.00000 2.000000 X3 8.000000 1.000000 R11 3.000000 0.000000 R12 2.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R21 0.000000 0.000000 R22 1.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 1.000000 0.000000 R32 1.000000 0.000000 R33 0.000000 0.000000 R41 0.000000 0.000000 R42 0.000000 0.000000 R43 2.000000 0.000000

演示cut02a.lg4; cut02b.lg4模式1:每根原料钢管切割成3 根4米和1根6米钢管，共10根；

模式2:每根原料钢管切割成2 根4米、1根5米和1根6米钢管， 共10根；模式3:每根原料钢管切割成2 根8米钢管，共8根。

原料钢管总根数为28根。