2010年全国高中数学联赛广东省预赛

一、填空题(每小题8分,共64分)1.方程logx/2x+sinx=2在区间(0,π/2]上的实根个数为____.

中等数学

21 00年全国高中数学联赛广东省预赛中图分类号：G 2 .9 4 4 7文献标识码：A 文章编号：10 6 1 ( 0 1 0 0 3 0 5— 4 6 2 1 )4- 0 6一O 2

一

、

填空题 (每小题 8分， 6 )共 4分

8分别以直角三角形的两条直角边 a b .、和斜边 C为轴将直角三角形旋转一周，得所旋转体体积依次为、、 . 则+与 ( ) 2的大小关系是 . 二、解答题 ( 5共 6分 )

1方程 .lg.+s =2 o￣ i n

在间0】的根数——.区 (詈上实个为 ,|. s则满足不等式 I n一61< S

2数{ ( )的凡和 y=a+1双曲线 3一Y .列8一 )项为设×前 x与 =1交于两点 A、日，以 A且 B为直径的圆恰过坐标系的原点？

1 ( 6分 )是否存在实数 a使直线 .1,

2 (0分 )证：存在这样的函数 .2求不厂z{,,,足对任意的整数、,:一 123}满 y若l I{,,,0 )/ Y .—∈ 2 3 5}贝/≠ ) 3 ( 0分 )知非负实数 a b C满足 .2已、、a+ C . b+:1求证： 9 6≤口 6+ a 1 9 6 ) ac 6+ c c≤ 1(+ a c.

的最小整数 n是 . 3已知 n n∈ N,≥2是常数， . ( n )且，:,…,

为间0】任实 .函 区[詈内意数则数，l 2…, ),, O 1 CS

= sn l C S 2+sn 2 C S 3+…+ i O i。 O sn i

参考答案一

的最大值等于 . 4圆周上给定十个点， .每两点连一条弦. 如果没有三条弦交于圆内一点，这些弦在则圆内一共有个交点. 5一只虫子沿三角形铁圈爬行，每个 .在顶点它都等机会地爬向另外两个顶点之一.

、

11 27 3÷ . . .

4 20 5 . 1 .76 .

c的角平分线 8+≥( L) . 2 二、.点 A( 1y ) B(2Y ) 1设 x,1、 x,2 .

则它在 n次爬行后恰好回到起始点的概率为 6设 0是平面上一个定点，、 . A、 C是平面上不共线的三个点，动点 P满足DP -4 -. - --

将 Y=+1 代人 3一 , x Y=1消去 Y得

f 3一a ) 2 a 2 X—2 x一2=0 .

则。 2、为方程 ( 3一a 一2 x一2=0 a

一

= IC AI

+

lB A

I ( .

0,

) .

的两根.

由韦达定理得

则点 P的轨迹为

l =—,l2一— .+ 2 =一i 铲 则以 A B为直径的圆恰过原点 0{ OA OA=0l 2+Yl 2=0 Y

①

7设对给定的整数 m,号 (表示 .符 m){,,} 12 3中使 m+ (能被 3整除的唯一 m)值.则 ( 1一1+ 2o— ) ( l一 ) 2o。 ) ( l 2+ 2 o 3 0 o

l2似 1 )似2 )= . +(+1 (+1 0