3.1《高等数学11》(理工)大纲

高等数学11 课程教学大纲

Advanced Mathematics 11

课程编号:10011026

学 时 数:80 适用专业: 理工类本科 学 分 数:5

执 笔 人: 高数教研室 编写日期:2006年8月

一、课程的性质和目的

《高等数学》是高等院校工科本科各专业学生必修的一门重要的基础理论课，是从事现代科学技术研究不可缺少的重要工具。 通过本课程的学习，要使学生获得有关微积分、向量代数、空间解析几何、无穷级数和常微分方程的基本知识，掌握必要的基础理论和应用技巧。培养学生的运算能力、综合分析的能力以及抽象思维、逻辑推理和空间想象的能力，从而使学生初步拥有运用数学知识解决实际问题的能力，为后继课程的学习奠定必要的数学基础。

二、课程教学环节的基本要求

课堂讲授：

主要采用讲授式、启发式、探究式、自学式的教学方法，并适当结合多媒体进行辅助教学.，要求概念的讲授，应注意通过实际例子阐述其产生的背景和现实意义。基本理论的阐述，应重视从实际问题抽象出数学模型，遵循理论联系实际的原则。要求学生掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。并且应用这些基本理论和方法去处理和解决物理、工科领域中的实际问题。 充分利用网上教学资源，以及近年来的优秀参考书籍，试题集、库以及CAI课件等资源为教学服务，扩大信息量，加强课外交流。

作业方面：

两学时布置一次作业或思考题，适当增加应用题的数量,学生通过作业巩固所学知识，培养学生分析问题和解决实际问题的能力。

考试环节：

闭卷考试。

三、课程的教学内容和学时分配

第一章 函数与极限（18学时）

教学内容：

函数，初等函数，数列的极限，函数的极限，无穷大与无穷小，极限的运算法则，极限存在的准则，两个重要极限，无穷小的比较，函数的连续性与间断点，连续函数的运算与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。 教学要求：

1、理解函数的概念，了解函数的基本性质（有界性、单调性、奇偶性和周期性）。

2、理解复合函数、反函数的概念。

3、理解各类极限的概念，掌握极限的性质，极限四则运算法则及两个极限存在法则（夹逼准则和单调有界准则），掌握用两个重要极限求极限的方法。

4、理解无穷小和无穷大的概念，理解无穷小阶的比较，无穷小的运算，无穷小与函数极限的关系，掌握用等价无穷小求极限。

5、理解函数连续的概念，了解间断点的概念，判别间断点的分类。

6、了解初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理），利用介值定理证明根的存在性等问题。

重点：

1、极限的概念，无穷小的概念。

2、极限的运算。

3、连续的概念。

难点：

1、极限的 N, 定义 。

2、极限中一些定理的论证方法。

3、求极限。

第二章 导数与微分（16学时）

教学内容：

导数的概念，函数的和、差、积、商的求导法则，反函数的导数，复合函数的求导法则，初等函数的求导问题，高阶导数，隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数，函数的微分。

教学要求：

1、理解导数的概念，导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。

2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式。

3、了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。

4、掌握隐函数和参数方程所确定的函数一阶、二阶的求导法，求反函数的导数的方法。

5、理解微分的概念，导数与微分的关系。

6、掌握微分的四则运算法则、一阶微分形式的不变性。

重点：

1、导数和微分的概念。

2、求导法则 。

难点：

1、复合函数求导法则 。

2、参数方程所确定的函数求二阶导数。

第三章 中值定理与导数的应用（12学时）

教学内容：

中值定理，洛必达法则，泰勒公式，函数单调性的判定法、函数的极值及求法，最大值、最小值问题，曲线的凹凸与拐点，函数图形的描绘。 教学要求：

1、 理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，并会用它们解决一些简单问题。了解柯西中值定理。

2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。

3、掌握较简单的最大值和最小值的应用问题的求解方法。

4、掌握求拐点和判断函数图形的凹凸性，了解函数的图形（包括水平、铅

直和斜渐近线）的描绘。

5、掌握用洛必达法则（L'Hospital）求未定式的极限的方法。

重点：

1、拉格朗日中值定理。

2、洛必达法则。

3、单调性、凹凸性和拐点、极值和最值。

难点：

1、利用中值定理、单调性证明问题 。

2、利用洛必达法则求极限。

第四章 不定积分（12学时）

教学内容：

不定积分的概念及性质，换元积分法，分部积分法，几种特殊类型函数的积分。

教学要求：

1、理解原函数与不定积分的概念及性质。

2、掌握不定积分的基本公式，不定积分的换元法和分部积分法。

3、了解求有理函数、三角函数及简单的无理函数的积分，积分表的使用。 重点：

1、不定积分的概念。

2、基本积分公式。

3、换元积分法。

4、分部积分法 。

难点：

1、换元积分法 。

2、分部积分法 。

3、有理函数的积分。

第五章 定积分（12学时）

教学内容：

定积分的概念及性质，积分中值定理，微积分基本公式，定积分的换元法和分部积分法，广义积分。

教学要求：

1、了解定积分概念的实际背景，理解定积分的概念及性质。

2、理解积分上限函数的意义及其求导定理。

3、掌握Newton-Leibniz公式及其应用。

4、掌握定积分的公式法、换元法和分部积分法。

5、理解广义积分及其收敛、发散的概念，了解简单的广义积分的计算方法。

重点：

1、定积分的概念与性质 。

2、积分上限函数求导。

3、Newton-Leibniz公式。

4、公式法、换元法和分部积分法。

5、广义积分的概念。

难点：

1、定积分概念的理解 。

2、换元积分法，分部积分法。

3、积分上限函数及其求导。

第六章 定积分的应用（10学时）

教学内容：

定积分的元素法，平面图形的面积，体积，平面曲线的弧长，功、水压力、引力。

教学要求：

1、掌握定积分元素法，用元素法求平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积，了解平行截面面积为已知的立体体积的求法。

2、了解利用元素法计算功、压力、引力等物理量的方法。

重点：

1、元素法。

2、平面图形的面积、旋转体的体积。

难点：

元素法、元素法的物理应用。

四、本课程与其他课程的联系与分工

本课程是线性代数,概率与数理统计,复变函数，积分变换等课程的先修课,是学习后续数学课程和其它专业课的重要基础理论课。

五、 建议教材与教学参考书

教材:

[1] 同济大学应用数学系,《高等数学》(第五版)，高等教育出版社。

[2] 同济大学应用数学系,《高等数学》（本科少学时）(第二版)，高等教育出版社。

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