浅谈用数学思想来解决经济生活中利润类问题

浅谈用数学思想来解决经济生活中利润类问题

崔 园 宁波经贸学校

摘要：本文探讨了如何用数学思想来解决经济生活中碰到的求利润，最大利润这样的一类应用题。用方程思想可解决售价进价是不变的一类问题，而当售价进价变化时，我们则往往用函数思想来解决，且这两类问题中的销售量是常量或只是一般变量；而当问题进一步复杂化时，问题中的利润或销售量不是一般变量而是随机变量时，我们往往会用数学期望等相关知识来解决。

关键词：方程思想、函数思想、数学期望、（最大）利润

利润类应用题是生产经营中经常遇到的问题，是一个社会人尤其是商业人需要去关注的问题。作为职业学校的数学教师，我觉得我有责任将数学与专业有机地结合起来，让数学为专业服务，所以我觉得有必要将利润类应用题渗透到我们的数学课堂中，甚至有必要将它作为一个模块编入校本教材中。下面我浅谈一下如何用数学思想来解决经济生活中的利润类问题。

一、 用方程思想解决利润类问题

用方程思想解决的是最简单的一类利润、折扣问题，这是小学初中数学中经常出现的应用题。解决这一类问题关键在于看清题意，列出方程，当然也可以是不等式，但其本质不变都是简单的套用公式类的题目。核心公式：利润＝收入－成本。下面我们来看几个例子：

1、一种商品，甲店进货价比乙店便宜12%，两店同样按20%的利润定价，这样1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定价是多少元？

解析：设乙店进货价为x 元，可列方程24%)121(%2020%=-?-x x ，解得1000=x ，故甲店定价为1000×（1－12%）×（1+20%）=1056元。

2、某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元，每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且进价售价不变，现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元。求（1）该公司有哪几种进货方案？（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润多少？

解析：设购进甲种商品x 件，乙种商品y 件，由题意20=+y x ①200812190≤+≤y x ②解得105.7≤≤x ，

且x 必须是整数，所以10,9,8=x ，所以有3种进货方案。设利润为z ，则405.025.2+=+=x y x z ，所以当选择方案3，即当10,10==y x 时，可获最大利润，最大利润为45万元。

对于上述2题关键在于学生能根据利润、成本、收入的核心公式列出方程。第1题是小学数学中的应用题，比较简单这里就不赘述了。而第2题则是初中数学中的应用题，涉及到不等式和方程组的一些知识，尤其是在求第（2）问时，利润y x z 25.2+=，对于此题初中常用的方法可能是3种方案（8,12），（9,11），（10,10）罗列出来后，用分类讨论的思想将3种方案的利润都求出来比较利润大小求得最后答案为选方案3。其实此题也可用函数的思想来解决，因为利润405.025.2+=+=x y x z ，此函数为一次函数，0>k ，单调递增，则意味着x 越大z 值越大，所以当10=x 时，即选方案3时，获取最大利润。

解决这一类应用题，其核心思想都是方程，本质是对成本、收入、利润这些基本概念的理解，并列出相关式子。

二、用函数思想解决利润类问题

所有商人追求的都是利润最大化，而最大利润的获得往往只有两种途径：一是薄利多销，二是提高售价。薄利未必多销，因为需求有限；而提高售价又往往会使销量减少。所以如何定好价，是经营决策中一个非常重要的问题。所以问题较第一类复杂了些，第一类问题中的售价进价往往是不变的，那么当售价进价变化时我们又该如何来解决呢？下面我们来具体看几例。

1、某商店购进一批单价为40元的商品，如果以60元的价格销售则每个月能卖出300件。根据市场调查，销售单价每提高1元，则销售量减少10件，每降低1元，则销售量提高20件，问如何定价才能获得最大利润？ 解析：6250)5(10)10300)(20(21111+--=-+=x x x y ，即提高5元时，获最大利润6250。

而由6125)5.2(20)20300)(20(22222+--=+-=x x x y 得降低2.5元，获最大利润6125元。

所以两者比较后，应提高5元，这样才能获最大利润6250元。

2、一家旅社有客房300间，每间房租20元，每天都会客满，旅社欲提高档次，并提高租金，如果每增加2元，房客出租数会减少10间，不考虑其他因素时，旅社将房间租金提高到多少时，每天房客的租金收入最高？ 解析：设提高x 个2元，则将有x 10间空房空出，每天客房租金总收入为

8000)10(20)10300)(220(2+--=-+=x x x y ，则当10=x 时，8000max =y 。

即每间租金为4021020=?+元时，每天租金总收入最高，为8000元。

我们可以把客房看成是商品，则租金就是售价，租出的客房间数就是销量，所以其本质是和第一题一样的题目，区别在于第二题售价只提高不减少，而第一题售价即可提高又可降低，且销量随售价的提高和降低是不同的关系式，所以我在这里举了两例。

总之上述两例的售价都不是固定的，销量随售价的变化而变化，所以可得出利润关于售价的变化量之间的函数关系式，这个关系式往往是二次的，所以用二次函数求最值的知识就可解决。

但是我们也可以发现这两例中成本是不变的，且销量关于售价的函数是一次的，那么如果成本也跟着变化或者销量关于售价的函数不是一次的，那么这样的例子我们又该如何解决呢？下面我们再来看两例：

3、霓虹化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年度进行一系列的促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足x -3与1+t 成反比例。如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2010年生产化妆品的固定投资为3万元。每生产1万件化妆品需再投资32万元。当将每件化妆品的售价定为“年平均成本的150%”与“年平均每件所点促销费的一半”之和，则当年的产销量相等。求当该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润y 最大？

解析：由题意，)3/(1x k t -=+，0,1==t x 代入得2=k ，则年销量)1/(23+-=t x ，售价为

x

t x x 2)323(23++，则)21132(50)323(]2)323(23[+++-==-+-++=t t t x x x t x x y 由均值不等式得当7=t 时，42max =y 万元。

4、某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：25

124200x p -=，且生产x 吨的成本为x R 20050000+=（元），问该产品每月生产多少吨时能获取最大利润，最大利润多少？

解析：设每月生产x 吨的利润为y 元，则

50000240005

1)20050000()5124200(32-+-=+--=x x x x x y ，由24000532'+-=x y 得200(200-=x 舍去），此时3150000max =y ，则每月生产200吨时获最大利润315万元。

第3题的成本是变化的，既涉及促销费用又涉及固定投资和追加投资，而第4题是售价关于销量是二次的且成本也变化的题目，所以在解这2题时肯定比前2题要复杂些。对于第3题其列出来的函数经过整理后为)0)(21132(50≥+++-=t t t y ，对于这一问题求最值，用均值不等式最为简单。而对于第4题的求解，因为其

函数列出来经过整理后为)0(50000240005

1)(3≥-+=

x x x x f ，是三次的函数求最值，那么我们当然可以使用导数的知识来解决此问题。 上述例题虽然使用了不同的方法来求最大利润，但其本质是一致的，都是列出利润关于销量或售价的函数后，求函数最值的问题，所以用函数思想来解决求利润最大的问题是极有效的一种 …… 此处隐藏：4582字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……